Home/ Intrebari/Q 79604
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

adina_16
Pe: 2012-12-20T17:27:13+02:00 In: In:

Multimea M

Se considera multimea M={x∈R|x([x]^2-[x]{x}+{x}^2 )=|x|(3[x]{x}-x^2 )}

a) Sa se arate ca M este un interval
b)Sa se stabileasca valoare de adevar a propozitiilor:
p:”∀a,b a∈M^b∈M→a+b∈M” si
q:”∀a,b a∈M^b∈M→ ab∈M”

Similare

4 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

    Sa rezolvam egalitatea

        \[ x\left( {\left[ x \right]^2 - \left[ x \right]x + x^2 } \right) = \left| x \right|\left( {3\left[ x \right]x - x^2 } \right) \]

    .

    1. Daca

        \[ x \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow \]

        \[ \begin{array}{l} \left[ x \right]^2 - \left[ x \right]x + x^2 = - \left( {3\left[ x \right]x - x^2 } \right) \\ \Leftrightarrow \left[ x \right]^2 + 2\left[ x \right]x = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x \right]\left( {\left[ x \right] + 2x} \right) = 0 \\ \end{array} \]

    Pentru ca egalitatea sa fie adevarata, ar trebui ca [x]=0 sau [x]+2x=0, ceea ce pe intervalul (-infinit;0) nu este posibil. Asadar pe acest interval nu exista solutii.

    2. Daca x=0, primim egalitatea 0=0, care e adevarata, asadar x=0 este solutie.

    3. Daca

        \[ x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \]

        \[ \begin{array}{l} \left[ x \right]^2 - \left[ x \right]x + x^2 = 3\left[ x \right]x - x^2 \\ \Leftrightarrow \left[ x \right]^2 - 4\left[ x \right]x + 2x^2 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ x \right]^2 - 4\left[ x \right]x + 4x^2 - 2x^2 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {2x - \left[ x \right]} \right)^2 = 2x^2 \Leftrightarrow 2x - \left[ x \right] = \sqrt 2 x \Leftrightarrow x\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = \left[ x \right] \\ \Leftrightarrow x = \frac{{\left[ x \right]}}{{2 - \sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = \frac{{\left[ x \right]\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} \\ \Leftrightarrow x = \frac{{\left[ x \right]}}{2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow x = \left[ x \right] + \frac{{\left[ x \right]}}{{\sqrt 2 }} \\ \end{array} \]

    Stim ca [x] este un numar natural, deci le luam pe cazuri:

    I. Pentru [x]=0 primim x=0, care nu apartine intervalului (0;+infinit), asadar in cazul acesta nu exista solutie.

    II. Pentru [x]=1 primim x=(2+radical(2))/2. Deoarece partea intreaga a x-ului primit este egal cu 1, inseamna ca x=(2+radical(2))/2 este solutie.

    III. Pentru [x]>1 se observa ca

        \[ \frac{{\left[ x \right]}}{{\sqrt 2 }} > 1 \]

    , asadar nu vor mai exista alte solutii.

    In concluzie,

        \[ M = \left\{ {0;\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} \right\} \]

    .
    *Poti vedea ca s-a dovedit contrariul punctului a), adica M NU este un interval.(nu ai scris gresit cerinta?)

    La punctul b):
    Fie a=(2+radical(2))/2 si b=(2+radical(2))/2.
    Pentru aceste valori(egale intre ele), primim ca propozitiile p respectiv q sunt false.(MENTIONEZ, ca daca s-ar spune ca a nu poate fi egal cu b, atunci ambele propozitii ar fi adevarate).

  2. adina_16

    Revin cu enuntul corectat.

    M=\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|x\cdot \left ( \left [ x \right ]^{2}-\left [ x \right ]\left \{ x \right \}+\left \{ x \right \}^{2} \right )=\left | x \right |\cdot \left ( 3\cdot \left [ x \right ]\left \{ x \right \}-x^{2} \right ) \right \}

    Multumesc mult!

  4. edy8
    maestru (V)

    adina_16 wrote: Revin cu enuntul corectat.

    M=\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|x\cdot \left ( \left [ x \right ]^{2}-\left [ x \right ]\left \{ x \right \}+\left \{ x \right \}^{2} \right )=\left | x \right |\cdot \left ( 3\cdot \left [ x \right ]\left \{ x \right \}-x^{2} \right ) \right \}

    \it{\Large\bl I) x<0 \Rightarrow x([x]^2-[x]\{x\}+\{x\}^2) = -x(3[x]\{x\}-x^2)|_{ :x} \Rightarrow [x]^2-[x]\{x\}+\{x\}^2 = -3[x]\{x\}+x^2 \Rightarrow\\\;\\\Rightarrow [x]^2-[x]\{x\}+\{x\}^2 + 3[x]\{x\} = x^2 \Rightarrow [x]^2+2[x]\{x\}+\{x\}^2 = x^2 \Rightarrow ([x]+\{x\})^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = x^2 (A)\\\;\\Deci, M=(-\infty, 0) \forall x<0 (1)\\\;\\II) x=0 \Rightarrow M=\{ 0 \} (2)\\\;\\(1), (2) \Rightarrow M = (-\infty, 0] \forall x\leq0. \\\;\\III) x>0 \Rightarrow relatia din enunt nu este adevarata.}

  5. gunty
    maestru (V)

    In cazul acesta e altceva:D. (Nu mai scriu rezolvarea punctului a), deoarece ai deja una).

    b)

    1. Propozitia p:
    Deoarece M=(-infinit;0], oricum am alege un a si un b, care vor apartine M, primim ca a<=0 si b<=0. Adunand doua numere <=0, vom primi o valoare <=0, deci a+b va apartine M.
    In concluzie, propozitia p este adevarata.

    2. Propozitia q:
    Deoarece a<=0 si b<=0, primim ca ab>=0, adica produsul ab nu va apartine M in orice caz.
    In concluzie, propozitia q este falsa.

Raspunde

Raspunde