Home/ Intrebari/Q 79391
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dana1101
Pe: 2012-12-06T16:46:18+02:00 In: In:

exercitiu

Daca a+b+c=3, sa se arate ca [(1+a^2)/(1+b)]+[(1+b^2)/(1+c)]+[(1+c^2)/(1+a)]≥3, oricare ar fi a, b, c >0

Va rog sa ma ajutati cu acest exercitiu pentru ca ma straduiesc sa il rezolv de ceva vreme si mereu ajung la un punct de la care nu stiu sa mai continui pentru a ajunge la rezultatul cerut si am nevoie urgent de el.

Similare

6 raspunsuri

  1. ali
    maestru (V)

    Solutie:
    \begin{array}{l} \frac{{1 + {a^2}}}{{1 + b}} + \frac{{1 + {b^2}}}{{1 + c}} + \frac{{1 + {c^2}}}{{1 + a}} \ge 3 \Leftrightarrow \sum {\frac{{1 + {a^2}}}{{1 + b}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{{1 + b}}} + \sum {\frac{{{a^2}}}{{1 + b}}} \ge 3\\ {\text{Vom demonstra pe rand ca fiecare suma este }} \ge \frac{3}{2}.\\ \sum {\frac{{{a^2}}}{{1 + b}}} \ge \frac{3}{2} \to {\rm{Aplicam trucul - CBS:}}\\ \frac{{{a^2}}}{{1 + b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + c}} + \frac{{{c^2}}}{{1 + a}} \ge \frac{3}{2}\left| { \times \left( {\underbrace {1 + b + 1 + c + 1 + a}_{ = 6}} \right)} \right. \Rightarrow \\ \left[ {{{\left( {\sqrt {1 + b} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + c} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt {1 + b} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{{\sqrt {1 + c} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{c}{{\sqrt {1 + a} }}} \right)}^2}} \right] \ge 9\\ {\rm{CB}}{{\rm{S}}_3}:\\ \left[ {{{\left( {\sqrt {1 + b} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + c} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt {1 + b} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{{\sqrt {1 + c} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{c}{{\sqrt {1 + a} }}} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} = 9 \ge 9\\ {\rm{Deci }}\sum {\frac{{{a^2}}}{{1 + b}}} \ge \frac{3}{2} \end{array}
    In mod asemănător se demonstrează si cealaltă suma … în concluzie:
    \sum {\frac{{1 + {a^2}}}{{1 + b}}} \ge 3.
    Daca întâmpini dificultăti în demonstratie … voi posta si partea a 2 a rezolvării !
    Ps: am preferat sa scriu „prima parte a solutiei” în mod simplificat … puteam de exemplu sa folosesc notatia pentru suma (iti recomand s-o folosesti dacă ai înteles solutia) astfel se prescurtează rezolvarea considerabil.

  2. dana1101

    De unde stim ca Σ[a^2/(1+b)]≥3/2?

  4. dana1101

    ali wrote: Solutie:
    \begin{array}{l} \frac{{1 + {a^2}}}{{1 + b}} + \frac{{1 + {b^2}}}{{1 + c}} + \frac{{1 + {c^2}}}{{1 + a}} \ge 3 \Leftrightarrow \sum {\frac{{1 + {a^2}}}{{1 + b}}} \ge 3 \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{{1 + b}}} + \sum {\frac{{{a^2}}}{{1 + b}}} \ge 3\\ {\text{Vom demonstra pe rand ca fiecare suma este }} \ge \frac{3}{2}.\\ \sum {\frac{{{a^2}}}{{1 + b}}} \ge \frac{3}{2} \to {\rm{Aplicam trucul - CBS:}}\\ \frac{{{a^2}}}{{1 + b}} + \frac{{{b^2}}}{{1 + c}} + \frac{{{c^2}}}{{1 + a}} \ge \frac{3}{2}\left| { \times \left( {\underbrace {1 + b + 1 + c + 1 + a}_{ = 6}} \right)} \right. \Rightarrow \\ \left[ {{{\left( {\sqrt {1 + b} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + c} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt {1 + b} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{{\sqrt {1 + c} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{c}{{\sqrt {1 + a} }}} \right)}^2}} \right] \ge 9\\ {\rm{CB}}{{\rm{S}}_3}:\\ \left[ {{{\left( {\sqrt {1 + b} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + c} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 + a} } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt {1 + b} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{{\sqrt {1 + c} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{c}{{\sqrt {1 + a} }}} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} = 9 \ge 9\\ {\rm{Deci }}\sum {\frac{{{a^2}}}{{1 + b}}} \ge \frac{3}{2} \end{array}
    In mod asemănător se demonstrează si cealaltă suma … în concluzie:
    \sum {\frac{{1 + {a^2}}}{{1 + b}}} \ge 3.
    Daca întâmpini dificultăti în demonstratie … voi posta si partea a 2 a rezolvării !
    Ps: am preferat sa scriu „prima parte a solutiei” în mod simplificat … puteam de exemplu sa folosesc notatia pentru suma (iti recomand s-o folosesti dacă ai înteles solutia) astfel se prescurtează rezolvarea considerabil.


    Mi-ati putea explica, va rog, si partea a doua?

  5. ali
    maestru (V)

    De unde stim ca Σ[a^2/(1+b)]≥3/2?


    Din experientă …. ceea ce trebuie sa stii despre inegalitătii este faptul ca fiecare inegalitate se rezolva prin mai multe metode … pentru aceasta problema … eu am la îndemână 3 solutii (prima este cea de mai sus, cea de a 2 presupune o rezolvare mult mai lunga … iar a 3 foloseste derivate partiale … este scurta însă abia când ajungi în anul 1 vei auzi de aceasta notiune)…. iti spun asta fiindcă vreau sa-ti arat ca exista si alte metode de rezolvare … probabil exista una mult mai scurta de cât cea prezentata de mine (defapt sunt absolut sigur)…
    Acel raport 3/2 l-am obtinut prelucrând expresia prin mai multe metode (inegalitătii) … deci … din experientă !
    Referitor la partea a 2 a rezolvării … pur si simplu în prima rezolvare înlocuieste a^2, b^2, c^2 cu 1 …. si gata !
    Iti recomand sa rezolvi inegalitătile simple …. mai apoi treci la o inegalitate ca asta (nu este nici asta grea însă presupune ceva lucru cel putin cu metoda mea)…..
    De inegalităti nu vei auzi nici la bac nici în facultate (ma rog… cred ca numai la facultate de matematica) … deci le vei rezolva pentru tine …. sa fi mai bun … mai destept !

  6. Zeus
    veteran (III)

    Eu ash fi aplicat ptr fiecare suma inegalitatea lui Titu Andreescu… iesea mult mai rapid.

  8. ali
    maestru (V)

    Eu ash fi aplicat ptr fiecare suma inegalitatea lui Titu Andreescu… iesea mult mai rapid.


    Sigur ca iesea mai repede… însă …. inegalitatea lui Titu Andreescu nu este o inegalitate oficiala…. adică nu este acreditata de matematicieni (sau cel putin nu de toti) … de acea, am preferat sa aplic CBS !

Raspunde

Raspunde