Home/ Intrebari/Q 79321
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Laur
Pe: 2012-12-02T11:53:06+02:00 In: In:

Siruri convergente

Am intampinat niste probleme in rezolvarea acestor 2 ex.Sa se studieze convergenta sirurilor:

Multumesc anticipat!

    \[\begin{array}{l} a){a_n} = \frac{1}{{2 + 3}} + \frac{1}{{{2^2} + {3^2}}} + .. + \frac{1}{{{2^n} + {3^n}}};\\ b){a_n} = (1 + \frac{1}{1})(1 + \frac{1}{2})...(1 + \frac{1}{n}); \end{array}\]

Similare

5 raspunsuri

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    Evident, o sa aplicam teorema lui Weierstrass.
    a)

        \[ a_n = \frac{1}{{2 + 3}} + \frac{1}{{2^2 + 3^2 }} + ... + \frac{1}{{2^n + 3^n }} \]

    Ii faci monotonia: a_{n+1}-a_n. Banuiesc ca o sa iasa

        \[ \frac{1}{{2^{n + 1} + 3^{n + 1} }} >0\]

    deci sirul este monoton crescator.
    Acum marginirea.

    Observam ca sirul nostru este pozitiv, pentru orice n natural. Deci putem spune ca a_n>0. Acum trebuie sa ii gasim o margine superioara.
    Sunt mai multe metode prin care se poate face acest lucru. Cea mai evidenta este cea cu progresiile geometrice. Adica putem spune ca

        \[ a_n = \frac{1}{{2 + 3}} + \frac{1}{{2^2 + 3^2 }} + ... + \frac{1}{{2^n + 3^n }} < \frac{1}{2} + \frac{1}{{2^2 }} + \frac{1}{{2^3 }} + ... + \frac{1}{{2^n }} \]

    iar suma din partea dreapta este o progresie geometrica usor calculabila. Pe aceeasi idee:

        \[ \begin{array}{l} a_n = \frac{1}{{2 + 3}} + \frac{1}{{2^2 + 3^2 }} + ... + \frac{1}{{2^n + 3^n }} < \frac{1}{3} + \frac{1}{{3^2 }} + ... + \frac{1}{{3^n }} \\ \\ \end{array} \]

    O luam pe a doua:

        \[ \begin{array}{l} a_n = \frac{1}{{2 + 3}} + \frac{1}{{2^2 + 3^2 }} + ... + \frac{1}{{2^n + 3^n }} < \frac{1}{3} + \frac{1}{{3^2 }} + ... + \frac{1}{{3^n }} \\ \\ \end{array} \]

    Calculam suma folosind formula sumei unei progresii geometrice:

        \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{{3^2 }} + ... + \frac{1}{{3^n }} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)^n }}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)^n }}{{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)^n } \right] \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\left[ {1 - \left( {\frac{1}{3}} \right)^n } \right] < \frac{1}{2} \]

    Deci a_n \in (0, \frac{1}{2})

    Sirul fiind monoton si marginit, conform teoremei lui Weierstrass, rezulta ca sirul este convergent.

  2. ali
    maestru (V)

    Daca ar fi sa mergem după weierstrass atunci:
    Mărginire:
    Solutia 1)Cea mai puternica aproximare a bn pleacă de la inegalitatea mediilor:
    \begin{array}{l} {\left( {MA - MG} \right)_2}\\ {2^k} + {3^k} \ge 2\sqrt {{6^k}} \Rightarrow \frac{1}{{{2^k} + {3^k}}} \le \frac{1}{2} \times \frac{1}{{{6^{\frac{k}{2}}}}} \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{2^k} + {3^k}}}} \le \frac{1}{2} \times \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{6^{\frac{k}{2}}}}}} = \\ \frac{1}{2} \times \frac{{\sqrt 6 \left( {1 - \frac{1}{{{6^n}}}} \right)}}{{6 - \sqrt 6 }} \to \frac{{\sqrt 6 }}{2}\left( {\frac{1}{{6 - \sqrt 6 }}} \right) \approx 0.35 \Rightarrow {b_n} < 1 \end{array}
    Deci după cum vezi, bn tinde către 0.35 …. Eu am presupus imediat ca bn este mărginit superior de 1 (asa ca sa iasă frumos!)…
    Solutia 2 si 3 sunt niste solutii foarte slabe dar mai simple … restrânge sirul bn direct la valoarea 1.
    monotonie: este prea simpla ca s-o mai fac …. se studiază semnul b_(n+1)-b_n

  4. xor_NTG
    maestru (V)

    Pentru al doilea sir:

    Monotonie:

        \[ \begin{array}{l} a_n = \left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) \\ \frac{{a_{n + 1} }}{{a_n }} = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}} = \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) > 1 \Rightarrow a_{n\,} \,\,s \uparrow \\ \\ \end{array} \]

    Marginire:

    Avem evident, a_n>0.
    Dar

        \[ a_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot ...\frac{{n + 1}}{n} = \frac{{n + 1}}{2} \]

    (pur si simplu am amplificat fractiile)

        \[ a_n = \frac{{n + 1}}{2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \]

    de unde conchidem ca sirul este divergent.

  5. Laur

    Multumesc foarte mult! Am o nelamurire iarasi; Cum sa aflu marginirea sirului 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) .. Din monotonia mi-a iesit ca e mai mic decat 0. Cealalta margina cum o aflu!

  6. xor_NTG
    maestru (V)

    Monotonia o poti afla facand diferenta a doi termeni consecutivi (in cazul general) dar poti face si raportul a doi termeni consecutivi (numai atunci cand sirul are termeni pozitivi) si il compari cu 1. Asta ca idee.

    Avem:

        \[ \begin{array}{l} a_n = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{n + n}} \\ a_{n + 1} - a_n = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{n + n}} + \frac{1}{{2n + 2}} - \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{n + n}}} \right) = \frac{1}{{2n + 2}} > 0 \Rightarrow a_n \,\,s \uparrow \\ \\ \end{array} \]

    Deci sirul este strict crescator deoarece diferenta a doi termeni consecutivi este pozitiva.

    La marginire:

    Evident sirul este pozitiv, deci a_n>0.
    Dar

        \[ a_n = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{n + n}} < \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n} = \frac{n}{n} = 1 \]

    deci a_n \in (0,1) deci sirul este marginit. Fiind, de asemenea si monoton, rezulta ca sirul este convergent.

Raspunde

Raspunde