Home/ Intrebari/Q 78769
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

vladsabau
Pe: 2012-11-05T15:09:35+02:00 In: In:

parte intreaga,,,

sa se rezolve:

1/{x} = 1/x + 1/[x]

o idee?

Similare

1 raspuns

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Îţi propun o soluţie, sper să îţi fie de folos.

    \frac{1}{\{x\}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}

    Din enunţ observăm ceva important: membrul stâng este întotdeauna pozitiv, pentru că partea fracţionară {x} € [0, 1). Asta înseamnă că dacă vom avea vreo soluţie negativă, membrul drept va fi negativ, deci soluţia negativă nu este acceptată (1).

    Altă observaţie, tot din enunţ]\{x\}\neq0[/tex], x\neq0 şi [x]\neq0 (2)

    Strategia rezolvării acestui tip de probleme este exprimarea părţii fracţionare funcţie de partea întreagă.

    Notăm pe [x] = k, unde k € Z*, număr întreg nenul şi notăm pe {x} = z, cu z € [0,1) (3).

    Ştim bine că x = k + z (5). Deci ecuaţia devine:

    \frac{1}{z}=\frac{1}{k+z}+\frac{1}{k} sau \frac{1}{z}-\frac{1}{k}=\frac{1}{k+z} sau \frac{k-z}{z\cdot k}=\frac{1}{k+z} sau k^2-z^2=z\cdot k sau

    z^2+ k\cdot z -k^2=0 Rezolvăm ecuaţia de gradul al doilea, necunoscuta este z:

    (z)_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4\cdot 1\cdot (-k^2)}}{2}=\frac{-k\pm k\cdot\sqrt{5}}{2} (5) Aplicăm proprietatea (3):

    0\leq \frac{-k\pm k\cdot\sqrt{5}}{2}<1 Înmulţim inegalitatea dublă cu 2:

    0\leq k\cdot(-1\pm\sqrt{5})<2 Împărţim inegalitatea dublă cu -1\pm\sqrt{5}: 0\leq k<\frac{2}{-1\pm\sqrt{5}}

    Partea 0\leq k<\frac{2}{-1-\sqrt{5}} este absurdă pentru că un număr negativ nu poate fi mai mare decât zero. Deci avem:

    0\leq k<\frac{2}{\sqrt{5}-1} Raţionalizăm, înmulţind fracţia cu conjugatul numitorului, adică cu \sqrt{5}+1 atât numitorul, cât şi numărătorul:

    0\leq k<\frac{2\cdot (\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)\cdot(\sqrt{5}+1)} sau: 0\leq k<\frac{2\cdot (\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}^2-1^2} sau 0\leq k<\frac{2\cdot (\sqrt{5}+1)}{4} sau 0\leq k<\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx \frac{2,23+1}{2}\approx 1,615.

    Dar k € Z* (mulţimea numerelor întregi, fără zero), deci k = 1. Înlocuim această valoare în expresia lui z, vezi relaţia 4 de mai sus:
    (z)_{1,2}=\frac{-k\pm k\cdot\sqrt{5}}{2}, adică z_1=\frac{-k-k\cdot\sqrt{5}}{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0, nu este soluţie pentru că z € [0,1).

    z_2=\frac{-k+k\cdot\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}>0 este soluţie.

    La final: x = k +z=1+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

    Deci x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} care este unica soluţie a ecuaţiei.

    Green eyes.

Raspunde

Raspunde