Salut!
De cateva zile ma lupt cu teorema lui Weierstrass pentru limite de siruri, care zice cam asa: „Orice sir monoton si marginit este convergent”.
De exemplu, sa zicem ca am urmatorul exercitiu:
Se considera sirul:
![\[ a_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{3^2 }} + ... + \frac{1}{{3^n }} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cecb31de2d8189ce9d3cd71761aa469_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Demonstrati ca acest sir este convergent.
Eu am rezolvat asa:
Pentru a demonstra ca acest sir este convergent, vom aplica teorema lui Weierstrass deci trebuie sa demonstram ca acest sir este marginit si monoton.
Monotonie:
![\[ a_{n + 1} - a_n = \frac{1}{{3^{n + 1} }} > 0 \Rightarrow a_n \,\, - \,s \uparrow \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c747ef795219208ee6a81ec91675ff3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Deci sirul este monoton crescator.
Pana acum, toate bune.
Marginire:
Se observa ca:
![\[ a_n > 1\,\,\forall \,\,n \in \,N* \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e5c4a41940e9282d103a574ac3db953_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Apoi eu am zis asa:
![\[ a_n = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{3^k }}} < 1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{2^k }}} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fdba50f45dd6b2e571201dc63d9eb895_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, o relatie care ar trebui sa fie adevarata.
Dar
![\[ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{2^k }}} < 1 + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k\left( {k - 1} \right)}} = 2 - \frac{1}{n} \Rightarrow b_n < 2} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4fbe1571e10a39924677c9fc888b467_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
unde
![\[ b_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{2^k }}} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c80c213d909c73ede75d9195bdb7045_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
De aici deducem faptul ca
![\[ a_n \in \left( {1,2} \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-788f7edd4eb7c94f0146d1c27837773f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
de unde rezulta ca 
este marginit, deci convergent.
Vreau sa imi spuneti daca aceasta rezolvare este una valida. In carte, rezolvarea este un pic mai „plina de experienta”, e o descompunere cam anormala de care nu mi-as fi dat seama.
De asemenea, as vrea sa imi spuneti daca pentru acest gen de exercitii exista o singura rezolvare, sau mai multe.
Multumesc.
Eu in locul tau as pleca de la faptul ca sirul tau e suma termenilor
unei progresii geometrice de ratie 1/3In locul
tau as calcula sum si as trece la limita
„an” este un termen al sirului a1,a2,a3….,an si daca „an ” tinde spre o valoare finita si definita sirul este convergent. Daca il vei lua pe „an” singur , „an” este o serie (termenii se aduna) .Ca serie „an” este convergenta pentru ca ultimul termen; 1/3^n ->0 cand n->infinit.
Am inteles ideea. Dar totusi as vrea sa stiu daca rezolvarea mea este corecta. Observati ca eu am zis ca
iar din rezolvarea lui DD se observa ca
daca nu ma insel.
De fapt intrebarea mea se poate reformula asa: este corect daca gasesc (corect) un interval de marginire al sirului? Sau acel interval este unic?
De fapt intrebarea mea se poate reformula asa: este corect daca gasesc (corect) un interval de marginire al sirului? Sau acel interval este unic?
Avand in vedere definitia limitei unui sir , (destul de permisiva)
„numarul s este limita sirului Sn , daca V vecinatate a lui s cuprinde
toti termenii sirului, exceptand eventual un numar finit din acestia.,
cred ca rezolvarea ta este corecta, dar cam imprecisa,pt ca inte 1,5 si2 nu
exista termenii ai sirului.
DD-ul stabileste insa cu exactitate limitele intervalului.
Colega „Sandy” este corect si asa cum ai facut tu , dand intervalul in care este cuprins „an” Sunt metode de demonstrare a convergentei unui sir folosind aceast metoda (metoda comparatiei sirlui dat cu un sir stiut ca este convergent). Cu respectDD