n^2+n+41

Question

eugen123

Pe: 18 octombrie 20122012-10-18T08:19:37+03:00 2012-10-18T08:19:37+03:00In: MatematicaIn: Clasele V-VIII

n^2+n+41

Sa arate ca exista n pentru care expresia n^2+n+41 este patrat perfect.
Exista cumva vreo solutie la nivel de clasa a V-a alta decat prin calcul sau prin a observa direct ca primul n cautat e 41?

Multumesc

10 raspunsuri

n din N ?
Se cunoaste ecuatia de gradul II (rezolvare) ?

observa direct ca primul n cautat e 41?

Nu e adevarat …. singurul n din N care verifica egalitatea este 40… nu este o presupunere, ci obtinut prin calcule … însă ….calcule care presupun cunoasterea ecuatiei de grad II.

- 0
Raspunde

diamondminer · Answer 1 · 2012-10-18T12:39:29+03:00

eugen123 wrote: Sa arate ca exista n pentru care expresia n^2+n+41 este patrat perfect.
Exista cumva vreo solutie la nivel de clasa a V-a alta decat prin calcul sau prin a observa direct ca primul n cautat e 41?

Multumesc

$\begin{array}{l} {x^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow {x^2} - 41 = {n^2} + n\\ {n^2} + n = n(n + 1) = {(n + 1)^2} - (n + 1){\rm{ }}\left[ {Formula{\rm{ }}pt{\rm{ }}produs{\rm{ }}de{\rm{ }}nr.{\rm{ }}con\sec utive]\\ \Rightarrow {x^2} - 41 = {\underbrace {(n + 1)}_x^2} - \underbrace {(n + 1)}_{41} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} n = 40\\ x = 41 \end{array} \right. \end{array}$

ali · Answer 2 · 2012-10-18T13:00:52+03:00

diamondminer wrote:

Nu e bine !

eugen123 wrote:

Este evident ca problema este postata la nivelul clasei a 5 … însă de multe ori autori postează problemele în rubrica necorespunzătoare .. de acea am 2 întrebări pentru autorul problemei: [list]

eugen123 · Answer 3 · 2012-10-18T15:51:54+03:00

eugen123

2012-10-18T15:51:54+03:00A raspuns pe 18 octombrie 2012 la 3:51 PM

Pentru Diamondminer: Multumesc mult pentru raspuns.

Pentru Ali: Da, n e din N. Nu se cunoaste ecuatia de gradul II. Problema am gasit-o intr-o carte de clasa a V-a.

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 4 · 2012-10-18T19:22:14+03:00

eugen123 wrote: Sa arate ca exista n pentru care expresia n^2+n+41 este patrat perfect.
Exista cumva vreo solutie la nivel de clasa a V-a alta decat prin calcul sau prin a observa direct ca primul n cautat e 41?

Multumesc

O idee,zic eu,la nivel de clasa V-a:
Fie $n^2+n+41=m^2$ atunci putem scrie ca $n^2+n=m^2-41$ sau prin inmultire cu $4$ a ambilor membri ai ultimei egalitatii si adaugand $1$ in ambii membri ai aceleasi ultime egalitati rezulta ca $4 \cdot n^2+4 \cdot n+1=4 \cdot m^2-164+1$ ceea ce inseamna ca $(2 \cdot n+1)^2=4 \cdot m^2-163$ care se mai scrie $4 \cdot m^2-(2 \cdot n+1)^2=163$ si cum $163$ este numar prim atunci rezulta ca simultan trebuie ca sa existe in multimea numerelor naturale egalitatile $2 \cdot m-2 \cdot n-1=1$ si respectiv $2 \cdot m+2 \cdot n+1=163$ de unde prin adunarea acestor doua egalitati membru cu membru rezulta ca $4 \cdot m=164$ si in final obtinem $m=\frac{164}{4}=41$ si deci din una din cele doua egalitati de exemplu din $2 \cdot m-2 \cdot n-1=1$ rezulta imediat ca $n=40$ ca fiind unica solutie in multimea numerelor naturale.
La clasa V-a se stie ca $(a+b)^2=a^2+2\cdot a \cdot b+b^2$ si ca $a^2-b^2=(a-b) \cdot (a+b)$ ?Multumesc!

Integrator · Answer 5 · 2012-10-18T19:24:52+03:00

diamondminer wrote: [quote=eugen123]Sa arate ca exista n pentru care expresia n^2+n+41 este patrat perfect.
Exista cumva vreo solutie la nivel de clasa a V-a alta decat prin calcul sau prin a observa direct ca primul n cautat e 41?

Multumesc

$\begin{array}{l} {x^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow {x^2} - 41 = {n^2} + n\\ {n^2} + n = n(n + 1) = {(n + 1)^2} - (n + 1){\rm{ }}\left[ {Formula{\rm{ }}pt{\rm{ }}produs{\rm{ }}de{\rm{ }}nr.{\rm{ }}con\sec utive]\\ \Rightarrow {x^2} - 41 = {\underbrace {(n + 1)}_x^2} - \underbrace {(n + 1)}_{41} \Rightarrow \left| \begin{array}{l} n = 40\\ x = 41 \end{array} \right. \end{array}$

Interesanta idee,dar fara suparare,cum rationam daca este sau nu singura solutie?Multumesc!

Integrator · Answer 6 · 2012-10-18T19:32:18+03:00

ali wrote: [quote=diamondminer]

Nu e bine !

eugen123 wrote:

Este evident ca problema este postata la nivelul clasei a 5 … însă de multe ori autori postează problemele în rubrica necorespunzătoare .. de acea am 2 întrebări pentru autorul problemei: [list]

ali · Answer 7 · 2012-10-18T21:27:24+03:00

dar eu zic ca se poate arata unicitatea solutiei in multimea numerelor naturale si fara cunoasterea rezolvarii ecuatiei de gradul II

Nu as mai fi matematician dacă nu se poate :d.
Solutia pe care o cad eu cea mai accesibila:
$\begin{array}{l} {n^2} < {n^2} + n + 41 < {n^2} + 7n + 49 = {\left( {n + 7} \right)^2}\\ {\left( {n + 1} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n = 40 \in N \to {\rm{ o prima solutie}}\\ {\left( {n + 2} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 3} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 4} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 5} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 6} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ - - - - - - - \\ n = 40 \to {\rm{solutie unica!}} \end{array}$

Integrator · Answer 8 · 2012-10-19T05:10:16+03:00

ali wrote:

dar eu zic ca se poate arata unicitatea solutiei in multimea numerelor naturale si fara cunoasterea rezolvarii ecuatiei de gradul II

Nu as mai fi matematician dacă nu se poate :d.
Solutia pe care o cad eu cea mai accesibila:
$\begin{array}{l} {n^2} < {n^2} + n + 41 < {n^2} + 7n + 49 = {\left( {n + 7} \right)^2}\\ {\left( {n + 1} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n = 40 \in N \to {\rm{ o prima solutie}}\\ {\left( {n + 2} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 3} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 4} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 5} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ {\left( {n + 6} \right)^2} = {n^2} + n + 41 \Rightarrow n \notin N\\ - - - - - - - \\ n = 40 \to {\rm{solutie unica!}} \end{array}$

Magnifica rezolvare in multimea numerelor naturale!Rationamentul aceasta duce in final la rezolvarea unei ecuatii de gradul I cu o singura necunoscuta iar numarul de incercari scade la 6.Multumesc!
Fara suparare,dar in loc de $n^2+7 \cdot n+49=(n+7)^2$ trebuia scris $n^2+14 \cdot n+49=(n+7)^2$ .
Daca se cerea rezolvarea in multimea numerelor intregi atunci cum s-ar putea rezolva fara a ne folosi de rezolvarea unei ecuatii de gradul II?Multumesc!

ali · Answer 9 · 2012-10-19T12:13:30+03:00

Fara suparare,dar in loc de $n^2+7 \cdot n+49=(n+7)^2$ trebuia scris $n^2+14 \cdot n+49=(n+7)^2$

Da sigur ca e n^2+14n+49 …

Daca se cerea rezolvarea in multimea numerelor intregi atunci cum s-ar putea rezolva fara a ne folosi de rezolvarea unei ecuatii de gradul II?Multumesc!

Ma bucur ca nu s-a cerut în Z 😛

Integrator · Answer 10 · 2012-10-19T16:25:27+03:00

Integrator maestru (V)

2012-10-19T16:25:27+03:00A raspuns pe 19 octombrie 2012 la 4:25 PM

ali wrote:
Ma bucur ca nu s-a cerut în Z 😛

Si totusi in multimea numerelor intregi cum s-ar rezolva fara ecuatia de gradul II?Multumesc!

- 0
Raspunde

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

n^2+n+41

Similare

10 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul