Home/ Intrebari/Q 77961
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ShadowV
Pe: 2012-09-15T19:22:36+03:00 In: In:

O Inegalitate

Buna seara! Am incercat sa rezolv o inegalitate, dar nu am reusit sa ii dau de capat nicicum. Imi puteti da va rog vreo idee?

Fie a,b,c 3 numere reale pozitive cu a*b*c>=1.Sa se arate ca {a}^{n}+{b}^{n}+{c}^{n} >= a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c oricare ar fi n>=2.

Similare

6 raspunsuri

  1. mathmagix

    Fie a,b,c 3 numere reale pozitive cu abc\geq 1 .Sa se arate ca a^n+b^n+c^n\geq ab+ac+bc \forall n\geq 2 .

    Pt n= 2 inegalitatea este usor de demonstrat:
    a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\geq 0\Leftrightarrow \\ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq0
    Am obtinut ceva adevarat. Pentru n\geq3 vom demonstra ca a^n+b^n+c^n \geq a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}

    Vom folosi inegalitatea lui Cebasev pentru tripletele:a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1} si a,b,c
    Avem (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})(a+b+c)\leq3(a^n+b^n+c^n)\Leftrightarrow \\ (a^n+b^n+c^n)\geq\frac{a+b+c}{3}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})
    Si acum folosim inegalitatea mediilor:
    \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\geq1\text{din ipoteza}
    obtinem
    a^n+b^n+c^n \geq a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}

  2. PhantomR
    expert (VI)

    🙁

  4. mathmagix

    Pare cam ciudat formalismul pe internet. Eu personal nu tin la el dar raspund cu acelasi tip de respect. Observatia e justa pe care ati facut-o. Si nu stiu acum ce sa fac: sa ma gandesc la o alta solutie sau sa incerc sa rezolv cazul particular ? a\geq 1, b,c \leq 1
    Apreciez interventia si sunt foarte curios sa vad o solutia corecta si completa. Sa speram ca o sa apara…

  5. mathmagix

    Domnule… totusi m-am mai gandit… nu e nicio problema cu cazul a\geq 1,b,c\leq 1
    De exemplu :
    a=7,b=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}; \frac{1}{2} \geq \frac{1}{3}\text{ si } (\frac{1}{2})^3 \geq (\frac{1}{3})^3; \frac{1}{8}\geq\frac{1}{27}
    Deci cele doua triplete au aceeasi monotonie. Gresec undeva?

  6. PhantomR
    expert (VI)

    🙁.

  8. Integrator
    maestru (V)

    ShadowV wrote: Buna seara! Am incercat sa rezolv o inegalitate, dar nu am reusit sa ii dau de capat nicicum. Imi puteti da va rog vreo idee?

    Fie a,b,c 3 numere reale pozitive cu a*b*c>=1.Sa se arate ca {a}^{n}+{b}^{n}+{c}^{n} >= a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c oricare ar fi n>=2.


    O idee:
    In conditiile date de problema putem scrie a^n+b^n \geq 2 \cdot \sqrt{{a^n \cdot b^n} , a^n+c^n \geq 2 \cdot \sqrt{{a^n \cdot c^n} si b^n+c^n \geq 2 \cdot \sqrt{{b^n \cdot c^n} si adunand aceste relatii obtinem a^n+b^n+c^n \geq \sqrt{a^n \cdot b^n}+ \sqrt{a^n \cdot c^n}+ \sqrt{b^n \cdot c^n}.In functie de mai multe cazuri de valori ale lui a,b,c cred ca putem stabili si acea inegalitate ceruta.

Raspunde

Raspunde