Home/ Intrebari/Q 77472
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

crazy.cipry
Pe: 2012-07-11T16:41:50+03:00 In: In:

Problema polinom

Daca ecuatia 2x^3+mx^2+4x+4=0 admite o radacina dubla, atunci m apartine multimii:
A) [-5,0]
B) [0,2]
C) [-8,-5]
D) {3}
E) (6,infinite)

Cum se rezolva?

Similare

6 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    P.S 

    \infty

    Integrator

  2. Integrator
    maestru (V)

    crazy.cipry wrote: Daca ecuatia 2x^3+mx^2+4x+4=0 admite o radacina dubla, atunci m apartine multimii:
    A) [-5,0]
    B) [0,2]
    C) [-8,-5]
    D) {3}
    E) (6,infinite)

    Cum se rezolva?


    Care este enuntul corect al problemei?Ecuatia data poate avea doua radacini reale egale doar daca m este un numar real.Ecuatia data poate avea doua radacini complexe egale daca m este un numar complex.Daca se vrea ca m sa fie real atunci transformam ecuatia data cu ajutorul metodei lui Cardan intr-o ecuatie de forma y^3+p \cdot y+q=0 al carei discriminant trebuie sa fie nul.Daca se stie metoda lui Cardan atunci rezulta imediat ca D=\frac{(24-m^2)^3+(m^3-36 \cdot m+216)^2}{36^3}=0 de unde rezulta m^3-m^2-36 \cdot m+140=(m+7)(m^2-8 \cdot m+20)=0 si deci singura radacina reala este m=-7.
    Pentru ce numere complexe m ecuatia data are doua radacini complexe egale?

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Integrator wrote: Pentru ce numere complexe m ecuatia data are doua radacini complexe egale?

    Integrator!

  5. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR wrote: [quote=Integrator]Pentru ce numere complexe m ecuatia data are doua radacini complexe egale?

    În solutia scrisă mai sus de mine se iau în considerare si rădăcinile ecuatiei \alpha^2+2a+2=0 \Leftrightarrow (\alpha+1)^2=-1 \Leftrightarrow \alpha+1=\pm i \Leftrightarrow \alpha = -1\pm i, deci există un m pentru fiecare din aceste valori astfel încât ele să fie rădăcini duble ale polinomului dat.

    Avem în vedere relatia 3\alpha^2+m\alpha+2=0. Pentru \alpha = -1+i \Rightarrow 3(-2i)-m+mi+2 =0 \Leftrightarrow 2-m+i(m-6)=0. Rezultă 2-m=0 \\ m-6=0, care conduce la 2=6, imposibil. Dacă \alpha=-1-i \Rightarrow 6i-m-im+2=0 \Leftrightarrow 2-m+i(6-m)=0 \Rightarrow[tex] 2-m=0 \\ 6-m=0[/tex], de unde 2=6, imposibil.

    Asadar singura valoare pentru care polinomul dat are o rădăcină dublă (reală sau nu) este m=-7, pentru care avem o rădăcină reală dublă, egală cu 2.

    Anexez această continuare si postului anterior. Vă multumesc pentru întrebare, domnule Integrator. Mai încercasem să rezolv pentru complexe, dar data trecută mi-a dat posibil.
    Nu inteleg!Daca m=4+2 \cdot i unde i^2=-1 atunci ecuatia data are doua radacini complexe egale si anume x=-1-i.Mai exista vreun numar complex m pentru care ecuatia data are doua radacini complexe egale?

  6. DD
    profesor

    Problema data este f. bine studiata de colegii mei si felicitari.
    Pentru elevii de clasa 12-a, acestia trebuesc sa cunoasca conditia in care, ec. f(x)=0 are o radacina multipla de ordinul „k”. Aceasta conditie este ;
    f(xo)=0 , f'(xo)=0 , f”(xo)=0 , f”‘(xo)=0 , …..,f(derivat de k-1ori)(xo)=0 si f(derivat de k ori )(xo)diferit de zero., unde xo este radacina multipla de ordinul k,
    In cazul dat si radacina trebuind sa fie dubla, rezulta k=2, deci;;
    1]. f(xo)=2.xo^3+m.xo^2+4.xo+4=0 si
    2]. f ‘(xo)=6.xo^2+2.m.xo+4=0 sau ; 2’]. 3.xo^2+m.xo+2=0.
    Inmultim ec 1]. cu 3 si ec 2]. cu xo si le scadem si vom obtine;
    3]. m.xo^2+8.xo+12=0 si avem un sistem de 2 ec,;2′]. si 3]. cu 2 necunoscute; xo si m.care se pot determina

  8. PhantomR
    expert (VI)

    Integrator wrote:
    Nu inteleg!Daca m=4+2 \cdot i unde i^2=-1 atunci ecuatia data are doua radacini complexe egale si anume x=-1-i.Mai exista vreun numar complex m pentru care ecuatia data are doua radacini complexe egale?

Raspunde

Raspunde