Home/ Intrebari/Q 77447
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Atena369
Pe: 2012-07-06T17:21:51+03:00 In: In:

Interval de numere reale

Aflaţi intervalul [a,b] ştiind că numărul

    \[\frac{{{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2} + 2ab - 17}}{4}\]

este prim.

Similare

8 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)
  2. Atena369

    PhantomR wrote: \frac{(a+1)^2+(b+1)^2+2ab-17}{4}=\frac{(a^2+2a+1)+(b^2+2b+1)+2ab-17}{4}=\frac{(a^2+2ab+b^2)+2(a+b)+1+1-17}{4}\ \stackrel{a+b\stackrel{\ \rm{not.}}{=}s \ }{=}\ \frac{(s^2+2s+1)+1-17}{4}=\frac{(s+1)^2-16}{4}=\frac{(s+1)^2-16}{4}=\frac{(s+1-4)(s+1+4)}{4}=\frac{(s-3)(s+5)}{4}.

    Mai departe as vrea să vă întreb dacă a,b sunt naturale.



    Da,sunt naturale. Si sunt singurele numere naturale din interval.

  4. edy8
    maestru (V)

    \it{\Large [2, 3]}

  5. PhantomR
    expert (VI)

    Atena369 wrote:

    Atena369 wrote:
    Da,sunt naturale. Si sunt singurele numere naturale din interval.


    1.2.

    edy8 wrote: \it{\Large [2, 3]}


    Multumesc mult domnului edy8

  6. edy8
    maestru (V)

    Atena369 wrote: Aflaţi intervalul [a,b] ştiind că numărul

        \[\frac{{{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2} + 2ab - 17}}{4}\]

    este prim.

    Atena369 wrote:

    Da,sunt naturale. Si sunt singurele numere naturale din interval.

    \it{Daca singurele numere naturale din intervalul [a, b ] sunt chiar a si b, \\\;\\atunci a si b sunt numere naturale consecutive.\\\;\\Problema se poate reformula astfel:

    \it{"Sa se determine numerele naturale consecutive a si b, daca \bl }

    \it{\Large \[\frac{{{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2} + 2ab - 17}}{4}\bl} [tex] \it{ este numar prim”\bl}

    [/tex]

    \rm{In aceste conditii, inlocuind b cu a+1, expresia din enunt devine:\\\;\\(a-1)(a+3) = numar prim \Longrightarrow a-1 = 1 \Longrightarrow a = 2.}

  8. Integrator
    maestru (V)

    Atena369 wrote: Aflaţi intervalul [a,b] ştiind că numărul

        \[\frac{{{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2} + 2ab - 17}}{4}\]

    este prim.


    Nu cred ca este corect sa se ceara un interval de numere ci o multime de perechi de numere a si b…….
    Putem scrie ca E=\frac{(a+1)^2+(b+1)^2+2 \cdot a \cdot b-17}{4}=\frac{(a+b)^2+2 \cdot (a+b)-15}{4}=p unde p este un numar prim si deci rezulta ecuatia de gradul II in (a+b) si anume (a+b)^2+2 \cdot (a+b)-15-4 \cdot p=0 al carei discriminant este \Delta=16+4 \cdot p=4 \cdot u^2 ceea ce inseamna ca 4+p=u^2 adica p=u^2-4 si deci p=(u-2)(u+2) si cum p este un numar prim trebuie ca u-2=\pm 1 sau u+2=\pm 1 de unde rezulta ca p=5 sau p=-3.Rezolvand ecuatia de gradul II in (a+b) rezulta toate solutiile cerute cu verificarea obligatorie ca expresia E sa fie un numar prim.Cum din enunt nu rezulta ce fel de numere sunt rezulta ca exista mai multe solutii.Oricum se demonstreaza usor ca numerele a si b sunt numere intregi.
    Numarul -3 este numar prim?

  9. Integrator
    maestru (V)

    edy8 wrote:

    \rm{In aceste conditii, inlocuind b cu a+1, expresia din enunt devine:\\\;\\(a-1)(a+3) = numar prim \Longrightarrow a-1 = 1 \Longrightarrow a = 2.}


    Nu inteleg!Asta este singura solutie?Fara suparare doresc detalii.Deasemeni nu este necesar ca sa se specifice ce fel de numere sunt a si b deoarece se demonstreaza usor ca numerele pot fi intregi.Eu zic ca sunt mai multe solutii….. 🙄 Daca gresesc rog sa mi se explice unde gresesc.Multumesc!

  10. edy8
    maestru (V)

    Atena369 wrote: Aflaţi intervalul [a,b] ştiind că numărul

        \[\frac{{{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2} + 2ab - 17}}{4}\]

    este prim.

    Atena369 wrote:

    Si sunt singurele numere naturale din interval.

    Daca a, b sunt singurele numere naturale din intervalul [a, b], atunci intre a si b nu exista alte numere naturale.

    Deci, a si b sunt numere naturale consecutive. (1)

    Intervalul [a, b] impune conditia b>a (2)

    (1), (2) \Large\ \Longrightarrow\ a\ =\ b+1\bl

    Integrator wrote: Deasemeni nu este necesar ca sa se specifice ce fel de numere sunt a si b deoarece se demonstreaza usor ca numerele pot fi intregi.



    Daca a, b sunt reale, atunci aceste numere pot fi si irationale.

    Exemplu:

    \it{\Large a = -1-2\sqrt{15}\bl}

Raspunde

Raspunde