Home/ Intrebari/Q 77138
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

antonia
Pe: 2012-06-06T17:25:20+03:00 In: In:

Problema trigonometrie

sa se arate ca daca intr-un triunghi sin^2 B+sin^2 C= sin^2 A, atunci acesta este dreptunghic

Similare

3 raspunsuri

  1. Pollux

    Teorema sinusului:in orice triunghi avem relatia:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.Din aceasta teorema scoti sinA,sinB,sinC si transformi relatia initiala,astfel ca ea va arata asa:

    b^2/4R^2 + c^2/4R^2 = a^2/4R^2.Elimini numitorii si obtii ca

    b^2 + c^2 = a^2.(Recunosti relatia asta?)

    E teorema lui pitagora,de unde rezulta ca triunghiul este dreptunghic

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Folosind notatiile uzuale (AB=c,BC=a,CA=b, R= raza cercului circumscris)Din teorema sinusurilor avem \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R sau, prin ridicare la patrat, \frac{a^2}{\sin^2 A}=\frac{b^2}{\sin^2 B}=\frac{c^2}{\sin^2 C}=4R^2, de unde \sin^2A=\frac{a^2}{4R^2}, \sin^2B=\frac{b^2}{4R^2} si \sin^2C=\frac{c^2}{4R^2}.

    Inlocuind in \sin^2B+\sin^2C=\sin^2A \Rightarrow[tex]\frac{b^2+c^2}{4R^2}=\frac{a^2}{4R^2} \Leftrightarrow b^2+c^2=a^2[/tex]. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul \bigtriangleup{ABC} este dreptunghic in A.

  4. edy8
    maestru (V)

    \it{\color{blue} Desenez triunghiul ABC si notez lungimile laturilor cu a, b, c.\\\;\\\ Aria (suprafata) lui ABC se poate scrie :\\\;\\S = \frac{ac\cdot sinB}{2} (1)\\\;\\S = \frac{ab\cdot sinC}{2} (2)\\\;\\S = \frac{bc\cdot sinA}{2} (3)\\\;\\(1), (3) \Longrightarrow sinB = \frac{b}{a}sinA\\\;\\(2), (3) \Longrightarrow sinC = \frac{c}{a}sinA \\\;\\Folosind ultimele doua relatii, relatia din enunt devine :\\\;\\\frac{b^2}{a^2} sin^2A + \frac{c^2}{a^2} sin^2A = sin^2A | _{: sin^2A} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{a^2} = 1 \Rightarrow \frac{b^2 + c^2}{a^2} = 1 \Rightarrow b^2 + c^2 = a^2 (4)\\\;\\Din relatia (4), folosind reciproca teoremei lui Pitagora \Longrightarrow ABC - dreptunghic, m(\hat{A}) = 90^0 . }

Raspunde

Raspunde