Home/ Intrebari/Q 75283
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

reveuse.kaari
Pe: 2012-01-12T16:19:33+02:00 In: In:

Imaginea unei functii

Trebuie aratat faptul ca imaginea functiei f:R->R, f(x)=(x^2+x+1)/(x^2-x+1) este intervalul [1/3;3]. M-am tot gandit cum sa o rezolv, insa nu imi amintesc sa fi facut nimic asemanator in clasa, doar imaginile functiilor de gradul 1 si 2. Multumesc anticipat pentru orice idee:)

Similare

1 raspuns

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Se procedeaza cam la fel mereu. Facem f(x)=y si obtinem x^2+x+1=yx^2-yx+y \Leftrightarrow (y-1)x^2-x(y+1)+y-1=0 Pentru ca aceasta ecuatie sa aiba cel putin o radacina reala trebuie sa avem \Delta\geq 0 \Leftrightarrow [-(y+1)]^2-4(y-1)(y-1)\geq 0 \Leftrightarrow (y+1)^2-4(y-1)^2\geq 0 \Leftrightarrow y^2+2y+1-4y^2+8y-4\geq 0 \Leftrightarrow 3y^2-10y+3\leq 0. Avem \Delta\prime = (-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3 = 64 \Rightarrow \sqrt{\Delta\prime}=8 \Rightarrow y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6} \Rightarrow y_1=3, y_2=\frac{1}{3}. In concluzie, avem y\in [\frac{1}{3},3], adica imaginea functiei este intr-adevar cea din enunt.

Raspunde

Raspunde