Home/ Intrebari/Q 72768
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andu_flavius95
maestru (V)
Pe: 2011-08-01T16:34:49+03:00 In: In:

Probleme interesante

1.Fie

    \[ a,b,c,d \in R \]

astfel incat

    \[ a + b = c + d \]

si

    \[ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \]

. Sa se demonstreze ca

    \[ a^n + b^n = c^n + d^n \] \[ ,\forall n \in N(Z) \]

2.Sa se demonstreze inegalitatea:

    \[ \frac{1}{8} \cdot \frac{{(a - b)^2 }}{a} \le \frac{{a + b}}{2} - \sqrt {ab} \le \frac{1}{8} \cdot \frac{{(a - b)^2 }}{b} \]

, unde

    \[ a \ge b > 0 \]

Similare

5 raspunsuri

  1. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    andu_flavius95 wrote: 1.Fie

        \[ a,b,c,d \in R \]

    astfel incat

        \[ a + b = c + d \]

    si

        \[ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \]

    . Sa se demonstreze ca

        \[ a^n + b^n = c^n + d^n \] \[ ,\forall n \in N(Z) \]

    2.Sa se demonstreze inegalitatea:

        \[ \frac{1}{8} \cdot \frac{{(a - b)^2 }}{a} \le \frac{{a + b}}{2} - \sqrt {ab} \le \frac{1}{8} \cdot \frac{{(a - b)^2 }}{b} \]

    , unde

        \[ a \ge b > 0 \]


    Fie a+b=c+d=u. Rezulta ca a=u/2-v; b=u/2+v(sau invers, oricum totul este simetrci si deci nu reducem generalitatea problemei prin presupunerea facuta); c=u/2-w;d=u/2+w (sau invers oricum totul este simteric) cu v;w>0 Rezulta ca a^2+b^2=(a+b)^2-2*a*b=
    =u^2-2*(u/2-v)(u/2+v)=u^2-2*(u^2/4-v^2)=u^2/2-2*v^2
    Analog se obtine ca c^2+d^2=u^2/2-2*w^2 deci
    v^2=w^2 si deoarece v;w>0 rezulta ca v=w si deci
    a=c si b=d. De aici rezulta ca a^n+b^n=c^n+d^n pentru orice n natural
    Interesanta ar fi urmatoarea generalizare:
    Daca a;b;c;d sunt numere reale si exista doua numere naturale nenule distincte m;n astfel incat a^n+b^n=c^n+d^n si
    a^m+b^m=c^m+d^m atunci
    a^t+b^t=c^t+d^t pentru orice t natural

  2. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    andu_flavius95 wrote: 1.Fie

        \[ a,b,c,d \in R \]

    astfel incat

        \[ a + b = c + d \]

    si

        \[ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \]

    . Sa se demonstreze ca

        \[ a^n + b^n = c^n + d^n \] \[ ,\forall n \in N(Z) \]

    2.Sa se demonstreze inegalitatea:

        \[ \frac{1}{8} \cdot \frac{{(a - b)^2 }}{a} \le \frac{{a + b}}{2} - \sqrt {ab} \le \frac{1}{8} \cdot \frac{{(a - b)^2 }}{b} \]

    , unde

        \[ a \ge b > 0 \]


    Prima inegalitate este echivalenta cu
    (a-b)^2/(8*a)<_(a+b-2*sqrt(a)*sqrt(b))/2 ceea ce este echivalent cu
    (a-b)^2/(8*a)<_(sqrt(a)-sqrt(b))^2/2
    ceea ce este echivalent cu
    (a-b)^2/(4*a)<_(sqrt(a)-sqrt(b))^2 ceea ce este echivalent cu
    ((sqrt(a)-sqrt(b))*(sqrt(a)+sqrt(b))^2/(4*a)<_(sqrt(a)-sqrt(b))^2 ceea ce este echivalent cu
    (sqrt(a)-sqrt(b))^2*(sqrt(a)+sqrt(b))^2</(4*a)<_
    <_ (sqrt(a)-sqrt(b))^2 ceea ce este echivalent cu
    (sqrt(a)+sqrt(b))^2/(4*a)<_1 ceea ce este echivalent cu
    (sqrt(a)+sqrt(b))^2<_4*a
    ceea ce este echivalent cu
    a+b+2*sqrt(a*b)<_4a relatie ce are loc in mod evident daca a>b
    In mod analog se demonstreaza si a doua inegalitate

  4. andu_flavius95
    maestru (V)

    Multumesc foarte mult pentru rezolvari.Am inteles totul. Intr-adevar ar fi foarte tare acea generalizare de la punctul 1) dar la ultima expresie este un ”f” in plus (la cf^t).Mersi mult.

  5. Bogdan Stanoiu
    maestru (V)

    andu_flavius95 wrote: Multumesc foarte mult pentru rezolvari.Am inteles totul. Intr-adevar ar fi foarte tare acea generalizare de la punctul 1) dar la ultima expresie este un ”f” in plus (la cf^t).Mersi mult.


    Multumesc pentru atentionare. Am modificat. De unde ai luat problema ?

  6. andu_flavius95
    maestru (V)

    Ambele probleme le-am luat dintr-un manual de clasa a 9 de M1 publicat in 1999 , ed.Teora Educational iar autori sunt:Dan Branzei & Gina Caba & Dan Mihalca & si altii.

Raspunde

Raspunde