Home/ Intrebari/Q 72558
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mara_silvioara
Pe: 2011-05-28T10:06:31+03:00 In: In:

Arie

Aratati ca in orice triunghi ABC avem:
S=p^2 X tg A supra 2 x tg B supra 2 x tg C supra 2

p^2= p la puterea a 2-a
Va rog sa ma ajutati… 🙁

Similare

5 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    In primul rand voi demonstra formulele in functie de laturi (si permietru/semiperimetru) pentru: \sin\frac{A}{2} , \cos\frac{A}{2} ,tg\frac{A}{2},ctg\frac{A}{2},cunoscute sub numele de „Formulele lui Neper”.

    NOTA: Scriu demonstratia presupunand ca nu ati facut formulele la clasa. In caz ca le-ati facut, te rog sa sari peste ea.

    Fie \bigtriangleup{ABC} cu laturile a=BC,b=CA,c=AB, semiperimetrul p si perimetrul P. (ATENTIE!).

    Formulele

    \sin^2\frac{A}{2}+\cos^2\frac{A}{2}=1 \Rightarrow \sin^2\frac{A}{2}=1-\cos^2\frac{A}{2}
    |\cos\frac{A}{2}|=sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}

    ar trebuie sa fie cunoscute. Daca nu, cea de a doua se poate demonstra calculand \cos2x si substituindu-l pe x cu \frac{x}{2}. Prima este formula fundamentala a trigonometriei.

    NOTA: Deoarece A<180 \Rightarrow \frac{A}{2}<\frac{180}{2}=90 \Rightarrow \cos\frac{A}{2}>0, \sin\frac{A}{2}>0.

    Din teorema cosinus: cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.

    \Rightarrow \cos\frac{A}{2} = sqrt{\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}= sqrt{\frac{(b^2+2bc+c^2)-a^2}{4bc}}=sqrt{\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}}=sqrt{\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{4bc}}=sqrt{\frac{(P-2a)P}{4bc}}=sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} (deoarece P=\frac{p}{2}).
    \Rightarrow \sin^2\frac{A}{2}=1-\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}=...=\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}=\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{4bc}=\frac{(P-2c)(P-2b)}{4bc}=\frac{(p-b)(p-c)}{bc} (deoarece P=\frac{p}{2}). \Rightarrow \sin\frac{A}{2} = sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}.

    \Rightarrow tg\frac{A}{2}=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}=sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}.
    \Rightarrow ctg\frac{A}{2}=\frac{\cos\frac{A}{2}}{\sin\frac{A}{2}}=sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}.
    _______________________-

    PROBLEMA IN SINE:

    Se cunoaste formula lui Heron: S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. (1)

    Avem: p^2tg\frac{A}{2}tg\frac{B}{2}tg\frac{C}{2}=p^2sqrt{\frac{[(p-a)(p-b)(p-c)]^2}{p^3(p-a)(p-b)(p-c)}}=sqrt{\frac{p^4(p-a)(p-b)(p-c)}{p^3}}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=^{(1)}S. Cerinta este demonstrata.

  2. mara_silvioara

    Multumesc mult pentru rezolvare 🙂 ,insa am o singura nelamurire: la problema in sine de unde ai scos p la puterea a 4-a? : ❓

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere! 🙂

    Am bagat p^2 din fata sub radical. (sqrt{p^4}=p^2)

  5. mara_silvioara

    Aaa! 💡 Multumesc inca o data foarte mult pentru ajutorul acordat;)) 😀

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Nicio problema! Ca o ultima „observatie”, cred ca formulele lui Neper pot fi folosite fara demonstratie.

Raspunde

Raspunde