Am o problema rezolvata aproape jumatate … insa nu am mai facut genul asta de exercitii pana acum pentru ca abia mi s-a predat lectia si nu stiu de ce ar trebui sa ma leg … ce pasi sa urmez, deci va rog daca puteti dati-mi o mana de ajutor. Enuntul e cam asa:
1) Pe R se defineste legea * data de x*y= radical de ordin 1995 din(x^1995 + y^1995). Aratati ca (R,*) este grup abelian izomorf cu (R,+).
2) Rezolvati in RxR sistemul format din ecuatiile: x*y*(-2)=1 si x^3-y^3=-7.
1) Am demostrat ca (R,*) este grup abelian obtinanad elementul neutru e=0 si simetricul unui element oarecare x ca fiind -x, dar nu stiu cum sa demonstrez ca e izomorf cu (R,+).
2) Am calculat prima ecuatie ajungand la forma x^1995+y^1995-2^1995=1 mai departe insa nu mai am nicio idee…
Trebuie sa cautam o functie f avand domeniul de definitie(R;*) si codomeniul (R;+) care pentru orice x;y din (R;*) sa verifice relatia
f(x*y)=f(x)+f(y). Functia cautata este data de legea f(x)=x^1995
Deoarece domeniul si codomeniul sunt R iar exponentul este impar functia este bijectiva. Se verifica prin calcul ca f satisface conditia de morfism.
Problema se poate generaliza inlocuind 1995 cu orice numar natural impar.
Deci daca n este un numar natural iar pe R se defineste legea * prin
x*y=(x^(2n+1)+y^(2n+1))^(1/(2n+1)) atunci (R;*) este grup abelian izomorf cu (R;+)
Trecand pe 2^1995 in dreapta egalului cu semn schimbat se obtine ca
x^1995+y^1995=2^1995+1
ceea ce este echivalent cu
(x^3)^665+(y^3)^665=2^1995+1 (1)
Din a doua relatie a sistemului se obtine ca
x^3=(y^3)-7
Inlocuind expresia lui x^3 in functie de y^3 in relatia (1) se obtine
((y^3)-7)^665+(y^3)^665=2^1995+1 (2)
Notam y^3=t si cu aceasta relatia (2) devine
(t-7)^665+t^665=2^1995+1
Fie functia f avand domeniul si codomeniul multimea numerelor reale data de legea f(t)=(t-7)^665+t^665
Rezulta ca f este strict crescatoare.
Relatia (2) este echivalenta cu f(t)=2^1995+1
Se observa ca t=8 este solutie pentru ecuatia (2) si deoarece f este strict crescatoare solutia este unica
t=8 rezulta ca y^3=8 de unde rezulta y=2 de unde rezulta x=1
Multumesc mult!