Home/ Intrebari/Q 67818
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ali
maestru (V)
Pe: 2009-08-13T11:17:13+03:00 In: In:

Un exercitiu care mi-a pus probleme si …

Un exercitiu care mi-a pus probleme si in timpul scolii si acum am dat din nou peste el:

Sa se demonstreze inegalitatile:

    \[ \frac{1}{{1!}} + ... + \frac{n}{{(n + 1)!}} = 1 - \frac{1}{{(n + 1)!}} \]

Rezolvare

Folosim „Scamatoria”:

\frac{n}{{(n + 1)!}} = \frac{{n + 1 - 1}}{{(n + 1)!}} = \frac{{n + 1}}{{(n + 1)!}} - \frac{1}{{(n + 1)!}} = \frac{1}{{n!}} - \frac{1}{{(n + 1)!}}

Deci,rescriem suma ca fiind:

\sum\limits_{{\rm k = 1}}^{\rm n} {\frac{{\rm k}}{{{\rm (k + 1)!}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}} \right)} } \\

Acum dand valori lui k=1,2,3,4,5,….,n Ai sa obtii:

Pt:k = 1 \Rightarrow 1 - \frac{1}{{2!}} \\ pt:k = 2 \Rightarrow \frac{1}{{2!}} - \frac{1}{{3!}} \\ pt:k = 3 \Rightarrow \frac{1}{{3!}} - \frac{1}{{4!}} \\ ............... \\ pt:k = n \Rightarrow \frac{1}{{n!}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}} \\

Adunand toate relatiile se obtine:

\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}} \right)} = 1 - \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{2!}} - \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{3!}} - \frac{1}{{4!}} + ... + \frac{1}{{n!}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}} \\
= ... = 1- \frac{1}{{(n + 1)!}}

Toti termeni s-au redus in afara de 1 si ultimul termen adica \frac{1}{{(n + 1)!}}

Similare

1 raspuns

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Corectă rezolvarea. Precizez că noţiunile despre factoriale se studiază în clasa a X-a.

    Green eyes.

Raspunde

Raspunde