LE: am editat din greseala, cerinta era sa se afle daca exista functii f:R->R astfel incat
1) f(x)-f(-x)=x^2 oricare x real
2) f(x-1)-f(1-x)=x oricare x real.
=============================
Mersi de rezolvare si promptitudine:)
1) f(x)-f(-x)=x^2 oricare x din R
2) f(x-1)-f(1-x)=x oricare x real.
Daca tot ai dat o solutie unde luam valori numerice opuse, m-am gandit ca la 1) se poate lua
x->-x
si obtinem ecuatia
f(-x)-f(x)=x^2 care este echivalenta cu(inmultind toata ecuatia cu -1):
f(x)-f(-x)=-x^2
deci din ambele ecuatii obtin ca acceasi expresie ia valoarea cand x^2 cand -x^2 si ajung la acelasi rezultat absurd ca in cazul valorilor particulare ale x-ului, 1 si -1.
Analog la 2), 1-x=-(x-1) si notand x-1=y si luand , la fel, argumentul functiei o data y, o data -y, ajung la acelasi tip de rezolvare.
Gresesc?
Mersi inca o data ca mi-ai deschis ochii.
1) Pentru x=1, obtin: f(1)-f(-1)=1; pentru x=-1, obtin f(-1)-f(1)=1, adica 1=-1, absurd.
2) Iau x=1 si obtin f(0)-f(0)=1, adica 0=1, absurd.
f,g:R->R
f(x)=x^2 +2x +1
g(x)=x^2 -2x +1
Aratati ca nu exista o functie h:R->R astfel incat
(h o f)(x) + (h o g)(x) = (g o f)(x) oricare x din R.
^”Noaptea e un sfetnic bun” rosteste o zicala:
h( f(x))+h( g(x))=g( (x+1)^2 )
h( f(x))+h( g(x))=( x^2 +2x )^2
h( f(x))+h( g(x))=x^2 .(x+2)^2
pentru x=0
h(1)+h(1)=0 => h(1)=0
pentru x=-1
h(0)+h(4)=1
pentru x=1
h(4)+h(0)=9
rezulta nu exista h care sa verifice relatia data.