Home/ Intrebari/Q 64124
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ovidicaus
Pe: 2007-10-04T21:35:48+03:00 In: In:

Calculati 1+3+5+….+99 si 2+4+6+…100

Calculati
a) 1+3+5+….+99
b) 2+4+6+…100

Similare

23 raspunsuri

  1. dan
    Best Answer
    expert (VI)

    1). 1+3+5+…+99=…. Este de forma 1+3+5+…+2n-1 =n*n;
    99=2n-1 de unde 2n=99+1=100 => n=50 .Deci suma S=50*50=2500;
    2). 2+4+6+…+100=… este de forma 2+4+6+…+2n=n*(n+1);
    => 2n=100 deci n=5o => S=50*51=2550;

  3. ioana12

    2+4+6+…+100 = 2(1+2+3+…+50) si atunci ai 2 * 50*51:2 , adica 50*51

    1+3+5+….+99 = 1+(1+2)+(1+4)+….+(1+98)
    (1+1+…+1) + 2(1+2+3+…49)
    50+2*49*50:2 = 50+49*50

    cam asa

  4. dan
    expert (VI)
    Raspuns editat.

    ioana12 wrote: 2+4+6+…+100 = 2(1+2+3+…+50) si atunci ai 2 * 50*51:2 , adica 50*51
    1+3+5+….+99 = 1+(1+2)+(1+4)+….+(1+98)
    (1+1+…+1) + 2(1+2+3+…49)
    50+2*49*50:2 = 50+49*50
    cam asa

    Corect !
    deci 1+3+…+99= 50*(1+49)=50*50 !
    (adica sumele de forma 1+3+5+…+2n-1 =n*n asa cum am transmis si eu)

  5. lokita_maria
    Raspuns editat.

    Nu inteleg de ce 1+3+5+…+99 este de forma 1+3+5+…+2n-1=n*n si 2+4+6+…+100 este de forma 2+4+6+…+2n=n*(n+1).

    Atunci 3+7+11+15+…+43 sau 1+2+3+…+100 de ce forma sunt?

  7. ali
    maestru (V)
    Raspuns editat.

    Sunt rezultate din suma lui gauss,adica pentru un „sir” de numere de forma:
    1+3+5+…+2n-1 ca sa aflam suma acestui sir procedem:
    \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {2k - 1} \right)} = 2 \cdot \sum\limits_{k = 1}^n k - \sum\limits_{k = 1}^n 1 \\ \sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{{n(n + 1)}}{2} \\ \sum\limits_{k = 1}^n 1 = n \\ - - - - - - - - \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {2k - 1} \right)} = 2 \cdot \sum\limits_{k = 1}^n k - \sum\limits_{k = 1}^n 1 = 2 \cdot \frac{{n(n + 1)}}{2} - n = n^2 \\

    Pt exercitiul tau,care cere sa se calculeze:
    {\rm 1 + 3 + 5 + }...{\rm + 99 = ??}
    Putem fie folosim rezultatul de mai sus(mai scurt) fi ne folosim de observatia:
    {\rm 3 = 2 + 1} \\ {\rm 5 = 4 + 1} \\ {\rm 7 = 6 + 1} \\ .......... \\ {\rm 99 = 98 + 1} \\

    Adunand toate sumele astea se obtine:
    {\rm 1 + 3 + }...{\rm + 99 = 1 + 2 + 1 + 4 + 1 + }....{\rm + 98 + 1} \\ {\rm = 50} \cdot {\rm 1 + 2 + }...{\rm + 98} \\ {\rm = 50 + 2(}\underbrace {{\rm 1 + }...{\rm + 49}}_{{\rm Suma}{\rm .Gauss}}{\rm )} \\ {\rm = 50 + 2}\left( {\frac{{{\rm 49} \cdot {\rm 50}}}{{\rm 2}}} \right) = ... = 50^2 \\

  8. dan
    expert (VI)
    Raspuns editat.

    Atunci 3+7+11+15+…+43 sau 1+2+3+…+100 de ce forma sunt?

    \rm{1+3+5+...+2n-1 } este o suma in care termenii sunt nr. impare consecutive;
    \rm{2+4+6+...+2n} este o suma in care termenii sunt nr. pare consecutive
    \rm{1+2+3+...+100} este o suma la care, termenii sunt numere consecutive …
    deci este de forma:
    \underbrace{1+2+3+...+n}_{suma ~lui ~Gauss}=\frac{n \cdot (n+1)}{2} }

    \rm{3+7+11+15+...+43} nu este de o forma generala obisnuita …
    \Rightarrow trebuie sa gasim regula prin care aceasta suma a fost construita …
    ” Observam ca termenii sumei cresc din 4 in 4 ”
    Adica:
    \rm{3+7+11+15+...+43=3+(3+1*4)+(3+2*4)+(3+3*4)+...+(3+10*4)= =\underbrace{3+3+3+...+3}_{de 10+1-ori}+4*\underbrace{(1+2+3+...+10)}_{suma Gauss}= = ... s.a.m.}

  9. lokita_maria

    Am inteles, multumesc.

  11. radu98
    Raspuns editat.

    Buna Seara sunt Radu ,multumesc si eu ptr explicatii abia acum am inteles;mii de multumiri ca existati;domnii invatatori si profesori lucreaza numai cu cei care merg la concursuri noua celorlalti nu prea ne explica ;asta este sistemul de invatamant ;ma bucur ca existati ,stiu ca ma repet dar eu multe metode le-am inteles din explicatiile voastre vizualizand subiectele propuse ; bafta si succcese sa aveti !!! 😀 😉

  12. radu98

    va multumesc ca existati!!!!!!Acum am inteles si eu !!!!

  13. bibibianca
    Raspuns editat.

    Si eu m-am impotmolit la acest gen de ex. De obicei le rezolc cu formula n(n+1)/2. Dar la ex. 3+7+11+15+….+43 de unde iti dai seama ca 3 trebuie adunat de 11 ori, cum ai spus? Sau la ex 1+3+5+..+99 apare la un momendar 50+ceva . De unde acel 50?

    Astept si ue un raspuns, daca se poate.

    Multumesc!

  15. alexandra98

    Care este metoda exacta de calcul a sumei Gauss?Sunt la inceput si nu am prea inteles exact cum se calculeaza..Multumesc mult! 🙂

  16. ali
    maestru (V)

    Matematicianul Gauss a folosit proprietatile adunarii pentru a calcula o suma de numere naturale consecutive.
    Exemplu:
    1)1+2+3+4+.96+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98 )+(4+97)++(45+46)=101+101+101+101=101*100/2=….

  17. alexandra98
    Raspuns editat.

    Buna! Am scris mai sus o intrebare: „Care este metoda exacta a calcularii sumei Gauss?”.Prin asta,vroiam sa intreb cum se calculeaza exact? Imi puteti spune? Sau sa imi aratati un model mai simplu pentru calcularea sumei Gauss.Multumesc 🙂

  19. Andreea95
    Raspuns editat.

    alexandra98 wrote: Buna!Am scris mai sus o intrebare: „Care este metoda exacta a calcularii sumei Gauss?”.

    Prin asta,vroiam sa intreb cum se calculeaza exact?

    Imi puteti spune?

    Sau sa imi aratati un model mai simplu pentru calcularea sumei Gauss.Multumesc 🙂

    suma lui „Gauss” se refera la suma primelor n numere naturale consecutive … , si regula de calcul este:
    \rm{S_n=1+2+3+ . . . +n-2 + n-1 + n =\frac{n \cdot (n+1)}{2}
    Toate formele care apar in diverse exercitii se pot reduce la aceasta formula!
    Exemplu:
    Suma primelor n numere pare consecutive:
    \rm{ S_n=2+4+6+...+2n=2(1+2+3+...+n)=2\cdot \frac{n\cdot(n+1)}{2}=n\cdot(n+1)}
    Suma primelor n numere impare consecutive:
    \rm{S_n=1+3+5+...+2n-1=1+(1+1*2)+(1+2*2)+(1+3*2)+...=\underbrace{1+1+...+1}_{n-ori}+2(1+2+3+...+n)= n^2}
    „n” se calculeaza cu ajutorul ultimului termen al sumei …

  20. alexandra98

    Multumesc mult pentru raspunsuri ! 🙂

  21. blackknight

    Multumesc caut de mult astea!!!!

  23. londra2

    nu stiu 9+99+999+…99…9(de 1998 ori 9).ajutati-ma

  24. genudoc

    S = 9 +99 +999 + … 99…9 (de 1989 ori) <=>
    S + 1989 = (9+1) + (99+1) +(999+1) + … (99 … 9 + 1) <=>
    S + 1989 = 10 + 100 + 1000 + … + 100…0 (de 1989 ori 0)
    de aici incolo cared ca te descurci tu…

  25. londra2

    multumesc mult

  27. anamariapaun

    a) 1+3+5+….+99
    1+3+5+…+99=
    =1+2+3+4…..+98+99 -(2+4+6+…+98 )=
    =99*100 totul supra 2 -2(1+2+3+…+49 )=
    =99*50 – 2 * 49*50 totul supra 2=
    =99*50 -49*50=
    =50(99-49)=
    =50*50=2500

  28. londra2

    1.Mihai afirma ca pretul unei carti s-a micsorat cu 10 procente.Calculati pretul pe care trebuie sa-l plateasca Mihai,stiind ca pretul initial a fost 10 lei.

    2.Alexandra are un penar pe care a dat 20 de lei.Pretul penarului s-a marit cu 20 de procente .
    a) Calculati cu cati lei s-a marit pretul penarului.
    b) Calculati cat costa penarul dupa marire.

  29. claudiabenko

    londra2 wrote: 1.Mihai afirma ca pretul unei carti s-a micsorat cu 10 procente.Calculati pretul pe care trebuie sa-l plateasca Mihai,stiind ca pretul initial a fost 10 lei.

    2.Alexandra are un penar pe care a dat 20 de lei.Pretul penarului s-a marit cu 20 de procente .
    a) Calculati cu cati lei s-a marit pretul penarului.
    b) Calculati cat costa penarul dupa marire.

    1. Pentru a afla 10% dintr-un număr trebuie să împarţi numărul respectiv la raportul lui 100 şi 10(adică 100:10=10).De aici te descurci.

    2. Pentru a afla 20% dintr-un număr trebuie să-l împarţi la raportul dintre 100 şi 20, adică 5. Acum te descurci,nu ?

Raspunde

Raspunde