Home/ Intrebari/Q 6225
Urmator
Answered

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mary-
10
Pe: 2021-03-30T15:14:06+03:00 In: In:

Calculați primitivele următoarelor funcții: , –– eu …

Calculați primitivele următoarelor funcții:

f(x)=x^2\sqrt{x^2+2x+2}, \forall x\in\mathbb{R}

f(x)=\frac{\arcsin x}{x^2}, \forall x\in(0,1)

f(x)=\sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}},x\in\mathbb{R^*_+}
––
eu am încercat ceva la fiecare dar nu am ajuns la rezultatul final
pentru a) am notat x+1=u doar că am ajuns din nou la o integrală de prima formă – nu stiu daca a ajutat

b) am făcut o derivare prin părți și am ajuns la integrala
-\frac{\arcsin x}{x}+\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} dx
de aici n-am știut cum ar trebui făcută integrala

c)am amplificat și am ajuns la
\sqrt{e^{2x}-1}-\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}dx

Similare

7 raspunsuri

  1. Menim
    Raspuns editat.

    1.Dupa substitutia ta obtinem:
    \int(u-1)^2\sqrt{u^2+1}du=\int(u^2-2u+1)\sqrt{u^2+1}du=\int(u^2+1)\sqrt{u^2+1}du-\int2u\sqrt{u^2+1}du
    Ne ocupam de prima integrala din diferenta. Este cunoscut faptul ca \int\frac1{\sqrt{u^2+1}}=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+c. De aceea vom face substitutia y=\ln(u+\sqrt{u^2+1}).

    Trebuie sa il aflam acum pe u in functie de noul y introdus. Stim ca y=\ln(u+\sqrt{u^2+1}) de unde rezulta ca -y=-\ln(u+\sqrt{u^2+1}).

    Exponentiem cele 2 relatii pentru a obtine e^y=u+\sqrt{u^2+1} si e^{-y}=e^{-\ln(u+\sqrt{u^2+1})}=\frac1{e^{\ln(u+\sqrt{u^2+1})}}=\frac1{u+\sqrt{u^2+1}}=\frac{u-\sqrt{u^2+1}}{u^2-u^2-1}=\sqrt{u^2+1}-u.

    Sczand realtiile obtinute, ramanem cu e^y-e^{-y}=2u deci u=\frac{e^y-e^{-y}}{2}. Functia u se numeste sinus hiperbolic iar functia y de mai sus este inversa sinusului hiperbolic. Poti gasi mai multe informatii despre aceste functii hiperbolice pe wikipedia.

    Deci facem substitutia u=\frac{e^y-e^{-y}}2. Rezulta atunci ca du=\frac{e^y+e^{-y}}2dy si deci integrala devine:
    \int(u^2+1)\sqrt{u^2+1}du=\int((\frac{e^y-e^{-y}}{2})^2+1)\sqrt{(\frac{e^y-e^{-y}}{2})^2+1}\cdot\frac{e^y+e^{-y}}{2}dy=\int((\frac{e^y-e^{-y}}{2})^2+1)\sqrt{(\frac{e^y-e^{-y}}{2})^2+1}\cdot\frac{e^y+e^{-y}}{2}\cdot e^y\cdot e^{-y}dy
    Mai departe facem substitutia evidenta(evidenta deoarece avem doar functii exponentiale; cei 2 termeni adaugati la final sunt pentru a face mai usoara substitutia) t=e^y deci dt=e^ydy. Integrala devine:
    \int((\frac{t-\frac1{t}}{2})^2+1)\sqrt{((\frac{t-\frac1{t}}{2})^2+1)}\frac{t+\frac1{t}}2\cdot\frac1{t}dt
    Luam primul termen al integralei, care apare si sub radical si il prelucram:
    (\frac{t-\frac1{t}}{2})^2+1=\frac{t^2+\frac1{t^2}-2}{4}+\frac44=\frac{t^2+\frac1{t^2}+2}{4}=(\frac{t+\frac1{t}}{2})^2. Observam ca radicalul dispare!! Integrala devine:
    \int\frac{t^2+\frac1{t^2}+2}4\cdot\frac{t+\frac1t}{2}\frac{t+\frac1{t}}{2}\cdot\frac1{t}dt=\int\frac{t^4+2t^2+1}{4t^2}\cdot\frac{t^2+\frac1{t^2}+2}{4}\cdot\frac1{t}dt=\int\frac{t^4+2t^2+1}{4t^2}\cdot\frac{t^4+2t^2+1}{4t^2}\cdot\frac1{t}dt=\frac1{16}\int{\frac{(t^4+2t^2+1)^2}{t^5}}dt=\frac1{16}\int{\frac{t^8+4t^6+6t^4+4t^2+1}{t^5}}dt=\frac1{16}\int t^3+4t+6\frac1{t}+4\frac{1}{t^3}+\frac1{t^5}dt=\frac1{16}(\frac{t^4}{4}+2t^2+6\ln(t)+4\frac{t^{-2}}{-2}+\frac{t^{-4}}{-4})+c=\frac1{16}(\frac{t^4}{4}+2t^2-\frac2{t^2}-\frac{1}{4t^4}+6\ln(t))+c=\frac1{16}({\frac{t^8+8t^6-8t^2-1}{4t^4}}+6\ln(t))+c

    Acum mai ramane sa facem substitutiile inapoi. Incepem cu t=e^y si obtinem:
    \frac1{16}(\frac{e^{8y}+8e^{6y}-8e^{2y}-1}{4e^{4y}}+6y)+c. Urmeaza y=\ln(u+\sqrt{u^2+1}). Integrala devine:
    \frac1{16}(\frac{(u+\sqrt{u^2+1})^8+8(u+\sqrt{u^2+1})^6-8(u+\sqrt{u^2+1})^2-1}{4(u+\sqrt{u^2+1})^4})+6\ln(u+\sqrt{u^2+1}))+c

    Mai ramane doar sa inlocuim u cu x+1 pentru a obtine integrala functiei date. Si sa speram ca nu am gresit niciun calcul 🙂

    O alta idee de rezolvare este sa facem substitutia u=\tan(t).

    Edit:Am uitat de a 2-a integrala din diferenta, dar aceea este usor de rezolvat(incepand prin substitutia y=u^2).

  2. Menim

    2.Integrarea prin parti este o idee buna. Mai ramane sa rezolvam integrala \int\frac1{x\sqrt{1-x^2}}dx. Amplificam cu x obtinand\int\frac{x}{x^2\sqrt{1-x^2}}dx. Facem substitutia y=x^2. Integrala este usor de rezolvat mai departe, daca mai ai nevoie de ajutor lasa un mesaj.

  4. mary-

    Făcând această substitutie nu vom ajuge la integrala de la care am pornit?

  5. Menim
    Best Answer

    3.Facem substitutia y=\frac{e^x-1}{e^x+1}. Puteam lua chiar si tot radicalul in aceasta substitutie dar este mai simplu de facut asa. Scoatem pe x in functie de y:
    y(e^x+1)=e^x-1
    e^x(y-1)=-1-y
    e^x=\frac{y+1}{1-y}
    x=\ln(\frac{y+1}{1-y})=\ln(y+1)-\ln(1-y)
    Derivand:
    dx=(\frac1{y+1}+\frac1{1-y})dy=\frac{1-y+y+1}{(y+1)(1-y)}dy=\frac{2}{1-y^2}dy

    Integrala devine:
    \int\sqrt{y}\cdot\frac2{1-y^2}dy=\int\frac{2\sqrt{y}}{1-y^2}dy

    Mai departe facem substitutia y=t^2 adica dy=2tdt de unde avem:
    \int\frac{2t}{1-t^4}\cdot2tdt=4\int\frac{t^2}{(1-t^2)(1+t^2)}dt=4(\int\frac{t^2+1}{(1-t^2)(1+t^2)}dt-\int\frac1{(1-t^2)(1+t^2)}dt)=4(\int\frac1{1-t^2}dt-\frac12\int\frac{(1-t^2)+(1+t^2)}{(1-t^2)(1+t^2)}dt)=4(\int\frac1{1-t^2}dt-\frac12(\int\frac1{1+t^2}dt+\int\frac1{1-t^2}dt))=4\int\frac1{1-t^2}dt-2\int\frac1{1+t^2}dt-2\int\frac1{1-t^2}dt=2\int\frac1{1-t^2}dt-2\int\frac1{1+t^2}dt=2(\frac12\ln(\frac{t+1}{1-t}))-2\arctan(t)+c=\ln(\frac{t+1}{1-t})-2\arctan(t)+c

    Refacem substitutiile:t=\sqrt{y}=\sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}}, obtinand:
    \ln(\frac{\sqrt\frac{e^x-1}{e^x+1}+1}{\sqrt\frac{e^x-1}{e^x+1}-1})-2\arctan(\sqrt\frac{e^x-1}{e^x+1})+c=\ln(\frac{\sqrt{e^x-1}+\sqrt{e^x+1}}{\sqrt{e^x-1}-\sqrt{e^x+1}})-2\arctan(\sqrt\frac{e^x-1}{e^x+1})+c

    Modul in care am refacut substitutiile e o confirmare a faptului ca puteam substitui direct tot radicalul.

  7. mary-

    Mulțumesc mult pentru ajutor!
    La ex. 2 am scris eu greșit cand am facut substitutia. Am înțeles!
    Cred ca la ex. 1 nu mi-ar fi venit niciodată acea idee!😄

Raspunde

Raspunde