Salutare!
Am un exercitiu de Algebra clasa a-XII-a
Fie a apartine lui R si multimea:
M indicea a = acolada A apartine lui M indice 2 (R) bara A * (matricea pe linie a 1 si 0 a) = (matricea pe linie a 1 si 0 a) * A se inchide acolada.
a) Sa se arate ca tripletul (M indice a, + , *) este inel.
b) Sa se determine U(M indice a),probabil multimea elementelor inversabile.
Stiind ca inmultirea matricelor nu este comutativa, am considerat matricea A ca fiind matricea unitate I indice 2.
Am incercat sa rezolv exercitiul ca un caz general,dar nu sunt sigur daca este bine.Orice idee este binevenita.
Cu o deosebita consideratie si respect! Narcis S.
Dacă am înțeles bine, mulțimea
este mulțimea tuturor matricelor A care comută cu o anumită matrice C(a).
este parte stabilă a lui M_2(R) în raport cu adunarea și este grup comutativ în raport cu operația indusă.
este monoid în raport cu operația indusă de înmulțire, cu același element neutru I_2 ca al monoidului (M_2(R), *).
.
i) Dacă A și B comută cu C(a), atunci și A+B, și -A comută cu C(a), deci
ii) Apoi și AB și I_2 comută cu C(a), deci
iii) Distributivitatea înmulțirii față de adunare este proprietate universală pe M_2(R), deci funcționează și pe
Cu asta este demonstrat că M_a este inel. Cum acesta are același element neutru I_2 ca și M_2(R), înseamnă că o matrice din M_a este inversabilă în M_a dacă și numai dacă este inversabilă în M_2(R), adică are determinant nenul.
Să observăm că C(a) din definiție sepoate scrie aI_2+C, unde C are un singur element nenul, acel 1 de pe diagonala a doua. E clar că A este din M_a dacă și numai dacă comută cu C. Scriind pe A cu 4 elemente arbitrare (x, y pe prima linie, t, z pe a doua), din AC=CA se obțin condițiile t=0, z=x.