Home/ Intrebari/Q 93234
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2022-01-29T17:50:46+02:00 In: In:

Matrice

Se da matricea :
\begin{bmatrix} 3 &1 &1 \\ 0&2 &1 \\ 0&0 & 2 \end{bmatrix}
Sa se afle suma elementelor matricei A^n,n\geq 2

Similare

3 raspunsuri

  1. robi

    Un calcul direct arată că A^2-5A+6I_3=\begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0&0 &-1 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix}.
    De aici, A^{n+2}-5A^{n+1}+6A^n=\begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0&0 &-1 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix} \cdot A^n.
    Se verifică ușor că suma elementelor matricii \begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0&0 &-1 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix} \cdot B este zero, pentru orice matrice B.
    Deducem că dacă s(n) reprezintă suma elementelor matricei A^n, atunci
    s(n+2)=5s(n+1)-6s(n).
    De aici ajungem ușor la s(n)=4\cdot 3^{n}-2^{n}, care e răspunsul căutat.

  2. ghioknt
    profesor

    Eu am scris A=2I+B, cu gândul de a aplica formula binomului. Pentru asta am nevoie de puterile lui B. Observând că
    B^3=B^2 deduc, inductiv, că B^n=B^2\forall n\geq 2.
    A^n=(2I_3+B)^n=2^nI_3+C_n^12^{n-1}B+(C_n^22^{n-2}+\;...\;+C_n^n)B^2
    Funcția S(X)= suma elementelor unei matrici X este liniară, adică S(aX+bY)=aS(X)+bS(Y), oricare ar fi coeficienții a, b.
    Apoi, S(I_3)=3,\;S(B)=S(B^2)=4, așa că
    S(A^n)=2^n\cdot 3+(C_n^1\cdot 2^{n-1}+C_n^2\cdot 2^{n-2}+\;...\;+C_n^n)\cdot 4=3\cdot 2^n+4[(2+1)^n-2^n]=4\cdot 3^n-2^n
    S(A^n)=2^n\cdot 3+(C_n^1\cdot 2^{n-1}+C_n^2\cdot 2^{n-2}+\;...\;+C_n^n)\cdot 4=3\cdot 2^n+4[(2+1)^n-2^n]=4\cdot 3^n-2^n
    Observație: acest rezultat este valabil și pentru valorile 0 și 1 ale lui n.

  4. Felixx
    veteran (III)

    Multumesc mult.

Raspunde

Raspunde