Home/ Intrebari/Q 93225
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

alexandru10
Pe: 2021-10-11T19:32:18+03:00 In: In:

Integrala cu radicali

Va rog, rezolvarea
\int \frac{\sqrt{x-9}}{x+9}dx
In ce consta metoda introducerii variabilei adaugate?

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    alexandru10 post_id=116633 time=1633980738 user_id=23230 wrote:
    Va rog, rezolvarea
    \int \frac{\sqrt{x-9}}{x+9}dx
    In ce consta metoda introducerii variabilei adaugate?

    Nu am mai întîlnit această expresie. Eu propun metoda schimbării de variabilă, varianta a doua.
    Funcția de integrat este definită și continuă pe intervalul [9;oo), deci admite primitive pe acest interval.
    Pentru că ecuația în x dată de egalitatea t=\sqrt{x-9} (aceasta este schimbarea de variabilă propusă)
    are, pentru orice t nenegativ, o soluție unică în intervalul considerat, x=t^2+9, înseamnă că funcția
    t=\sqrt{x-9} este inversabilă, are inversa dată de relația x=t^2+9, și cu asta începe
    varianta a doua a schimbării de variabilă.
    dx este dat de dx=(t^2+9)'dt=2tdt, iar integrala devine
    \int \frac{t}{t^2+18}\cdot 2tdt=2\int \frac{t^2+18-18}{t^2+18}dt=2\int dt-36\int \frac{1}{t^2+(\sqrt{18})^2}dt=\\=2t-36\cdot \frac{1}{3\sqrt{2}}arctg\frac{t}{3\sqrt{2}}+C.
    Atunci \int \frac{\sqrt{x-9}}{x+9}dx=2\sqrt{x-9}-6\sqrt{2}arctg\frac{\sqrt{x-9}}{3\sqrt{2}}+C.
    Încearcă să faci proba, calculând derivata acestei funcții! Vei vedea că, în ciuda aparențelor, această funcție este derivabilă și în x=9.

  2. alexandru10

    Va multumesc foarte mult , domnule profesor!

Raspunde

Raspunde