Home/ Intrebari/Q 93168
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2020-03-25T17:50:56+02:00 In: In:

Problema polinom

„https://ibb.co/NNdy0Pt”>https://ibb.co/NNdy0P

Similare

12 raspunsuri

  1. grapefruit
    maestru (V)

    Daca pun conditiile |P|<=1 si S intre [-2,2] ar putea sa iasa?

    • 0
  2. grapefruit
    maestru (V)

    La delta trebuia sa pun m apartine lui R, deoarece si intre 1/2 si 2 functia este pozitiva.

    • 0
  4. ghioknt
    profesor

    Abordarea corectă mi se pare a fi următoare.
    A. Pentru m=1 ecuația care pare a fi de gradul 2 în sinus este de fapt de gradul Întâi, și anume sinx=-1, care are soluții reale. Deci m=1 este o soluție a problemei.
    B. Pentru m diferit de 1, ecuația în t chiar este de gradul al doilea, și putem reformula: ecuația inițială are soluții reale dacă și numai dacă ecuația – de gradul 2 – în t are soluții reale și măcar una în intervalul [-1; 1].
    Pare să fie mult de lucru, dar surpriza plăcută este că ecuația în r are pe 5/2 drept rădăcină dublă. În consecință și cele 2 rădăcini 2 și 1/2 ale polinomului de gradul 4, numit Delta, sunt tot rădăcini duble, deci Delta este pătrtul unui polinom de gradul 2, de aici mirarea ta că Delta nu are valori negative. \Delta =(2m^2-5m+2)^2.
    Rădăcinile ecuației în t vor avea expresii raționale simple, gen 2m-3, 1/(m-1), așa că îți poți permite să rezolvi sistemele -1\leq t_1\leq 1,\;apoi\;-1\leq t_2\leq 1, să reunești soluțiile lor și să-l adaugi și pe 1, de la cpitolul A.

    • 0
  5. grapefruit
    maestru (V)

    Dar daca expresia delta nu datea ceva frumos, astfel exprimarea radacinilor t1 si t2 nu mai era la fel de usoara, puteam sa ma leg cumva de relatiile lui viete?

    • 0
  6. ghioknt
    profesor

    Celor cărora nu le plac inecuațiile cu radicali, adică tuturor, le recomand două posibile metode.
    Una bazată pe următoarele observații: două numere au semne contrare dacă și numai dacă produsul lor este negativ și două numere au același semn dacă și numai dacă produsul lor este pozitiv și suma lor are acel semn.
    Să cercetăm dacă există valori ale lui m pentru care t_1\leq -1\leq t_2\leq 1; atunci sinx=t_2 ar avea soluții.
    Scriind
    t_1+1\leq 0,\;t_2+1\geq 0,\;t_1-1\leq 0,\;t_2-1\leq 0\Leftrightarrow \\(t_1+1)(t_2+1)\leq 0,\;(t_1-1)(t_2-1)\geq 0,\;(t_1-1)+(t_2-1)\leq 0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow t_1t_2+(t_1+t_2)+1\leq 0,\;t_1t_2-(t_1+t_2)+1\geq 0,\;(t_1+t_2)-2\leq 0
    se ajunge, prin intermediul relațiilor lui Viete la sistemul
    \frac{c-b+a}{a}\leq 0,\;\frac{c+b+a}{a}\geq 0,\;\frac{-b-2a}{a}\leq 0.

    • 0
  8. grapefruit
    maestru (V)

    Multumrsc frumos! Aceste invataminte sunt valoroase si nu se gasesc prin carti ceea ce le face diamante!

    • 0
  9. ghioknt
    profesor

    A doua abordare se bazează pe caracterizarea prin inegalități a pozițiilor rădăcinilor reale față de un număr dat u.
    Avem t_1<u<t_2 dacă și numai dacă f(u) are semn contrar lui a: af(u)<0.
    Avem t_1\leq t_2<u\Leftrightarrow af(u)>0,\;\frac{-b}{2a}<u;\;\;u<t_1\leq t_2\Leftrightarrow af(u)>0,\;\frac{-b}{2a}>u.
    Dacă una sau ambele rădăcini pot fi egale cu u, atunci inegalitățile nu vor mai fi stricte. Așadar,
    t_1\leq -1\leq t_2\leq 1\Leftrightarrow af(-1)\leq 0,\;af(1)\geq 0,\;\frac{-b}{2a}\leq 1\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow a(a-b+c)\leq 0,\;a(a+b+c)\geq 0,\;\frac{-b-2a}{2a}\leq 0.
    Evident, acest sistem de inecuații are aceleași soluții ca cel de la metoda precedentă, iar acestea trbuie însoțite, sau precedate, de condiția \Delta \geq 0.

    • 0
  10. grapefruit
    maestru (V)

    Maine o sa analizez ce ati zis si o sa iau la creion sa mi le fixez! (@

    • 0
  12. grapefruit
    maestru (V)

    M am uitat pe prima metoda si am o nelamurire, dvs cand ati scris inegalitatea t1<=-1<=t2<=1 practic ecuatia initiala are solutiile sinx=t2, iar pentru t1 fiind mai mic ca – 1 ecuatia nu mai are solutii; scriind asa pratic dvs nu ati pierdut din a considera si cazul cans t1 si t2 sunt intre 1 si minus 1?

    • 0
  13. grapefruit
    maestru (V)

    Adica vreau sa zic ca ecuatia initiala are solutii daca de exemplu t2 este intre minus 1 si 1, iar t1 poate sa fie oricat, nu neaparat mai mic ca minus 1

    O conditie suficienta dar nu si necesara pierzandu se din solutii… Eu asa vad lucrurile

    Aduca ar trebui tratate cazurile ambele radacini sunt intre minus 1 si 1 si atunci si t1 imi furnizeaza solutii, dar si t2, odata t1 intre minus 1 si 1 si t2 mai mare ca 1 si imi furnizeaza solutii doar t1, etc… Sper sa nu fie redundant ce scriu

    • 0
  14. ghioknt
    profesor

    grapefruit post_id=113542 time=1585564214 user_id=18963 wrote:
    Aduca ar trebui tratate cazurile ambele radacini sunt intre minus 1 si 1 si atunci si t1 imi furnizeaza solutii, dar si t2, odata t1 intre minus 1 si 1 si t2 mai mare ca 1 si imi furnizeaza solutii doar t1, etc… Sper sa nu fie redundant ce scriu

    Exact așa trebuie rezolvată problema! Eu te-am avertizat de la început că e mult de lucru. Soluția problemei se obține reunind soluțiile sistemelor ce descriu cele 3 situări ale rădăcinilor, plus evemtual soluția de la A.
    Eu nu mi-am propus să rezolv problema, ci să răspund la întrebarea ta, dacă te poți lega de relațiile lui Viete.

    Altă abordare ar fi să afli valorile lui m pentru care ecuația trigonometrică nu are soluții. Adică
    t_1\leq t_2<-1,\;sau\;t_1<-1,\;1<t_2,\;sau\;1<t_1\leq t_2,
    iar mai departe îți imaginezi ce trbuie să faci.

    • 0
  16. grapefruit
    maestru (V)

    Am inteles, solutia directa este de prefarat la aceasta problema. MULTUMESC revin si cu alte dileme care or sa apara

    • 0
Raspunde

Raspunde