Home/ Intrebari/Q 93167
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2020-03-24T12:52:52+02:00 In: In:

limita grea

https://postimg.cc/qtzwxBDz

Similare

7 raspunsuri

  1. Menim

    Dand factor comun pe 1/n in suma:
    \lim_{n->\infty } (\frac{n^2+1}{n+1}-\sum_{k=1}^{n}cos(\frac{2\pi}{n+k}))=\lim_{n->\infty } (\frac{n^2+1}{n+1}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}cos(\frac{2\pi}{1+\frac{k}{n}}))
    Consideram functia, definita pe [0, 1]:
    f(x)=cos(\frac{2\pi}{1+x})
    Suma din limita noastra este o suma Riemann a acestei functii, pentru diviziunile (0, 1/n, 2/n…, 1), si sistemul de puncte intermediare (1/n, 2/n, …, 1). Functia fiind continua, toate sumele Riemann converg la integrala definita,in cazul nostru cea de la 0 la 1 din f(x). Deci limita noastra este:
    \lim_{n->\infty}(\frac{n^2+1}{n+1}-\int_{0}^{1}cos(\frac{2\pi}{1+x})dx)
    Integrala are o valoarea finita(functia este marginita de -1 si 1), iar limita primului factor este infinit, deci toata limita este +infinit.

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Nu cred ca este corect.

  4. ghioknt
    profesor

    grapefruit post_id=113520 time=1585090626 user_id=18963 wrote:
    Nu cred ca este corect.

    Într-adevăr, acel 1/n nu are ce căuta în fața sumei.
    Poate găsești o postare mai veche de a mea în care dezbăteam în ce condiții în loc de \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}f(x_{kn})
    putem calcula \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}g(x_{kn}). Dacă îl găsești, afișează-l, dacă nu, voi reveni.
    Aici este voba despre f(x)=1-\cos x,\;g(x)=\frac{x^2}{2},\;x\in (0;\infty ),\;x_{kn}=\frac{2\pi }{n+k}.
    \frac{n^2+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{2\pi }{n+k}=n+\frac{-n+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{2\pi }{n+k}=\frac{-n+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left ( 1- \cos\frac{2\pi }{n+k}\right )
    \lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( 1- \cos\frac{2\pi }{n+k}\right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( \frac{2\pi }{n+k} \right )^2}{2}=\lim_{n\to\infty }\frac{2\pi ^2}{n}\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\left ( 1+\frac{k}{n} \right )^2}=0
    pentru că al doilea factor este o sumă Riemann și are o limită finită. Răspunsul ar fi deci -1.

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Putin mai pe seara caut postul, eu stiu se el oricum.Am facut si eu propria mea rezolvare vazata pe aceasta idee, as fi curios sa imi spuneti daca e bine.
    https://ibb.co/ZxQDCyF

    Edit:integrala este 1/(1+x^2)

  6. grapefruit
    maestru (V)

    Rezultatul cautat

  8. ghioknt
    profesor

    Mulțumesc pentru căutare.
    Da, e bine, cu o singură scăpare. Sub integrală eponentul lui (1+x) trebuie să fie -2, nu 2, dar asta nu influențează rezultatul.

  9. grapefruit
    maestru (V)

    Multumesc pentru feed back. O sa postez pe seara inca o problema impreuna cu ce am incercat la ea.

Raspunde

Raspunde