Home/ Intrebari/Q 93106
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

FaN.Anduu
user (0)
Pe: 2019-06-13T13:27:43+03:00 In: In:

limita fara serii Taylor

Sa se gaseasca limita lui x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{n^{4}+k}\cdot\sin(\frac{2k\pi}{n}); n\in\mathbb{N}^{*}

Raspuns -1/4pi

O rezolvare fara serii Taylor daca se poate.Am adunat/scazut un radica din n^4 si am impartit in 2 sume.

Similare

5 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Ideea pe care ai avut-o/primit-o este bună, numai că trebuie finalizată cu oarece abnegație.
    a_n=\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{n^4+k}-n^2)sin\frac{2k\pi }{n}+n^2\sum_{k=1}^{n}sin\frac{2k\pi }{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\sqrt{n^4+k}+n^2}sin\frac{2k\pi }{n}
    =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^4}}+1}\cdot \frac{1}{n}\frac{k}{n}sin\frac{2k\pi }{n}
    \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+1}\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\frac{k}{n}sin\frac{2k\pi }{n}\leq a_n\leq \frac{1}{2}\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\frac{k}{n}sin\frac{2k\pi }{n}
    Criteriul cleștelui ne spune că șirul are ca limită pe \frac{1}{2}\int_{0}^{1}xsin(2\pi x)dx

    • 0
  2. FaN.Anduu
    user (0)

    Multumesc pentru raspuns!
    Ceea ce n-am inteles este de ce a doua suma dispare.Tinde la 0?
    Suma aia nu merge rezolvata cu metoda pe care am vazut-o tot aici pe forum?
    Daca am f(x)=sinx si g(x)=x astfel incat limita cand x->0 f(x)/g(x)=1 si un a(k,n)=2kpi/n atunci limita ar fi limita din suma de 2kpi/n. 2pi/n iese in fata si ramane suma din k dar limita imi da infinit.E gresita abordarea?Dar daca suma tinde la 0 si n la infinit, n as ajunge la 0*infinit ?

    Legat de inegalitate, s-a scris an-ul final si in stanga lui se inlocuieste k cu n, de aia a dat 1/n^3 ? Si in dreapta se inlocuieste k cu 1, nu ?Adica cele 2 sume din dreapta si stanga lui an nu-s la fel? 1/2 suma din 1/n…de unde iese cu Riemann.

    Inafara de partea cu a2a suma, am inteles in mare parte rezolvarea.
    Multumesc!

    O alta rezolvare pe care am gasit-o dar care ma depaseste este cea din poza:

    Attached files

    • 0
  4. grapefruit
    maestru (V)

    Salut,vreau sa stiu si eu cum se numeste cartea.

    Legat de a doua suma,putem interpreta ca fiind suma partilor imaginare ale radacinilor de ordin n ale unitatii.

    • 0
  5. ghioknt
    profesor

    A doua sumă nu tinde la 0, ci este 0.
    Observație: u+v=2\pi \Rightarrow \sin u+\sin v=0.
    s_n=\sum_{k=1}^{n}\sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right )=\sum_{k=1}^{n-1}\sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right ),
    pentru că ultimul termeneste de fapt sin(2pi)=0.
    2s_n=\left ( \sin \frac{2\pi }{n}+\sin\frac{2(n-1)\pi }{n} \right )+...+\left ( \sin \frac{2(n-1)\pi }{n}+\sin\frac{2\pi }{n} \right )=0, căci, conform observației, fiecare paranteză este 0.
    Povestea cu f(x)/g(x) nu merge pentru că acel a(k,n) trebuie să tindă la 0 pentru orice k, inclusiv pentru k=n, ceeace nu se întâmplă pentru (2kpi)/n.
    Demonstrația din carte este corectă, în timp ce demonstrația postată de mine este greșită. Inegalitățile
    \frac{1}{\sqrt{1+\frac{n}{n^4}}+1}\leq \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^4}}+1}\leq \frac{1}{2} sunt adevărate pentru orice k,
    numai că, înainte de a le însuma, ele trebuie înmulțite cu \sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right ). Ori aceste valori sunt
    negative pentru orice k>\left [ \frac{n}{2} \right ]=c_n; asta face ca inegalitățile să-și schimbe sensul, adică
    inegalitățile folosite de mine pentru a aplica criteriul cleștelui sunt fanteziste.
    Totuși rezultatul obținut este cel corect, așa că voi modifica puțin raționamentul. Voi scrie a_n=a'_n+a''_n,
    unde la primul șir indicele de sumare ia valori de la 1 la c_n, iar la al doilea de la c_n+1 la n.
    Deci pentru primul șir inegalitățile nu se schimbă, în timp ce pentru al doilea toate vor fi cu sensul schimbat.
    \frac{1}{\sqrt{1+\frac{c_n}{n^4}}+1}\sum_{k=1}^{c_n}\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}\cdot \sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right )\leq a'_n\leq \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{c_n}\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}\cdot \sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right )
    \frac{1}{\sqrt{1+\frac{n}{n^4}}+1}\sum_{k=c_n+1}^{n}\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}\cdot \sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right )\geq a''_n\geq \frac{1}{\sqrt{1+\frac{c_n+1}{n^4}}+1}\sum_{k=c_n+1}^{n}\frac{1}{n}\cdot \frac{k}{n}\cdot \sin \left ( \frac{2k\pi }{n} \right ).
    Primele 2 sume corespund unor sume Riemann pentru \int_{0}^{\frac{1}{2}}x\sin 2\pi xdx, iar celelalte 2 pentru \int_{\frac{1}{2}}^{1}x\sin 2\pi xdx.
    a'_n+a''_n\to \int_0^1x\sin 2\pi xdx=-\frac{1}{4\pi}.

    • 0
  6. FaN.Anduu
    user (0)

    Multumesc!

    • 0
Raspunde

Raspunde