Home/ Intrebari/Q 93062
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Kierkegaard
Pe: 2019-04-06T15:56:57+03:00 In: In:

Termenul ce nu-l contine pe X

Termenul dezvoltarii (1+x+\frac{1}{x})^5 ce nu-l contine pe x este:

Similare

2 raspunsuri

  1. Felixx
    veteran (III)

    \left ( 1+x+\frac{1}{x} \right )^{5}=\frac{\left ( x^{2}+x+1 \right )^{5}}{x^{5}}
    \left ( x^{2}+x+1 \right )^{5}=\left [ 1+\left ( x+x^{2} \right ) \right ]^{5}=...=C_{5}^{3}\left ( x^{2}+x \right )^{3}+C_{5}^{4}\left ( x^{2}+x \right )^{4}+C_{5}^{5}\left ( x^{2}+x \right )^{5}
    unde
    \left ( x^{2}+x \right )^{3}=x^{3}\left ( x+1 \right )^{3}=...+3x^{5}+...
    \left ( x^{2}+x \right )^{4}=x^{4}\left ( x+1 \right )^{4}=x^{4}\left ( x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1 \right )=...+4x^{5}+..
    \left ( x^{2}+x \right )^{5}=x^{5}\left ( x+1 \right )^{5}=x^{5}\left ( x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1 \right )=...+x^{5}
    Atunci termenul care il contine pe x^{5} de la numarator este :
    C_{5}^{3}\cdot 3x^{5}+C_{5}^{4}\cdot 4x^{5}+C_{5}^{5}\cdot x^{5}
    Raspuns: 51

  2. ghioknt
    profesor

    Propun să calculăm termenul general al dezvoltării (x+1+\frac{1}{x})^n.
    Pentru \left ( \frac{1}{x}+(1+x) \right )^n termenul general este C^m_n\left ( \frac{1}{x} \right )^{n-m}(1+x)^m,\;0\leq m\leq n.
    Pentru (1+x)^m termenul general este C_m^kx^k,\;0\leq k\leq m așa că pentru dezvoltarea noastră termenul general este C_n^mC_m^k\left ( \frac{1}{x} \right )^{n-m}x^k=\frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!}x^{k+m-n},\;0\leq k\leq m\leq n.
    Pentru un n dat, numărul de termeni este dat de numărul de perechi (k,m) care îndeplinesc condițiile scrise, adică
    \frac{(n+1)(n+2)}{2}.
    Pentru problema noastră n=5 si trebuie să scriem coeficienții termenilor cu k+m-5=0, 0\leq k\leq m\leq 5.
    Soluțiile sunt (0,5), (1,4), (2,3), deci termenul fără x va fi
    \frac{5!}{0!\cdot 5!\cdot 0!}+\frac{5!}{1!\cdot 3!\cdot 1!}+\frac{5!}{2!\cdot 1!\cdot 2!}=1+20+30=51.

Raspunde

Raspunde