Home/ Intrebari/Q 93060
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Robert Stanciu
user (0)
Pe: 2019-03-27T18:20:25+02:00 In: In:

Integrala

Buna seara! Ma puteti ajuta cu aceasta problema, va rog?

Integrala de la 0 la 2pi din 1/(sin^4x+cos^4x). Multumesc!

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Dacă ai fi scris ce ai reușit tu să faci și unde te-ai încurcat, poate că sugestiile mele ar fi fost mai la obiect.
    1. Pentru o funcție ca aceasta, pară în sinx și cosx, teoria spune că substituția t=tgx transformă integrala noastră în integrala unei funcții raționale. Numai că domeniul de integrare conține vreo două puncte în care tangenta nu e definită, așa că voi încerca să evit niște integrale improprii care ar presupune si treceri la limită.
    2. Identitățile sin(x+\frac{\pi}{2}=cosx,\;cos(x+\frac{\pi}{2}=-sinx ne arată că funcția noastră este periodică de perioadă pi/2. Integrala unei functii periodice are aceeași valoare pe orice inteval de lungime egală cu perioada:
    \int_{0}^{2\pi}f(x)dx=4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx.
    3. Cu schimbarea t=\frac{\pi}{2}-x obțin:
    \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(x)dx, \;deci\;\int_{0}^{2\pi }f(x)dx=8\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(x)dx
    4. Pe acest interval problema cu tangenta dispare, așa că, cu identitățile sin^2x=\frac{tg^2x}{1+tg^2x},\;cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x}
    și cu schimbarea t=tgx,\;dt=(1+tg^2x)dxse ajunge la
    8\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(1+tg^2x)^2}{tg^4x+1}dx=8\int_{0}^{1}\frac{t^2+1}{t^4+1}dt=8\int_{0}^{1}\frac{t^2+1}{(t^2-\sqrt{2}t+1)(t^2+\sqrt{2}+1)}dt=\\=4\int_{0}^{1}\left ( \frac{1}{t^2-\sqrt{2}t+1}+\frac{1}{t^2+\sqrt{2}t+1} \right )dt=4\int_{0}^{1}\left ( \frac{1}{\left ( t-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^2}+ \frac{1}{\left ( t+\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^2}\right )dt=\\=4\sqrt{2}\left ( arctg(t\sqrt{2}-1)+arctg(t\sqrt{2}+1) \right )|_0^1=\\=4\sqrt{2}\left ( arctg(\sqrt{2}-1)+arctg(\sqrt{2}+1) \right )=2\pi \sqrt{2}.
    Am mai folosit arctga+arctg(1/a)=pi/2.

Raspunde

Raspunde