Home/ Intrebari/Q 93028
Urmator
In Process
quaintej
user (0)
Pe: 2019-02-10T10:48:54+02:00 In: In:

Matrice, polinom caracteristic

Buna! Am o problema la care nu stiu cum sa justific un lucru. Enunt:
Fie A\in M_n(\mathbb{Q}). Sa se determine tr(A) si det(A) daca det(A-\sqrt[n]{3}\cdot I_n)=0 pentru n\geq 2.
Din relatia data rezulta ca \sqrt[n]{3} este valoare proprie pentru A, fiind o radacina a polinomului caracteristic, iar polinomul care indeplineste acest lucru este f_A=X^n-3, dar nu stiu cum sa arat ca nu exista unul cu grad mai mic. Ajunge sa explic asta in cuvinte?
De asemenea, pot spune direct ca din Relatiile lui Viette ale lui f_Areiese ca tr(A)=0 si det(A)=(-1)^n\cdot3?
In caz ca am gresit, imi puteti da o alta indicatie de rezolvare?
Multumesc anticipat!

Similare

2 raspunsuri

  1. profesor

    Nu ai greșit, rezultatele tale sunt corecte. Singura problemă este cum justifici că polinomul caracteristic al matricei A este f_A=X^n-3. Mă gândesc să pun cap la cap câteva lucruri mai mult sau mai puțin cunoscute despre polinoame minimale, polinoame ireductibile.
    1. Definiție. Fie \alpha un număr ne-rațional pentru care există un polinom nenul f\in \mathbb{Q}[X]\;a.\;i.\;f(\alpha )=0 – un polinom anulator al lui \alpha.
    În aceste condiții, polinoamele anulatoare de grad minim se vor numi polinoame minimale ale lui \alpha.
    2. Observație. Dacă h este un polinom minimal, iar f un polinom anulator oarecare al lui \alpha, atunci h|f.
    3. Observație. Un polinom anulator al lui \alpha este minimal dacă și numai dacă este ireductibil peste Q.
    4. Observație. Polinomul minimal al lui \alpha, unitar, este unic.
    5. Teoremă (Gauss). Dacă un polinom cu coeficienți întregi este ireductibil peste Z, atunci el este ireductibil și peste Q.

    6. Observație. Conform criteriului lui Eisenstein, dacă p este un număr prim și a un întreg nedivizibil cu p, atunci polinomul X^n+pa este ireductibil peste Z. În particular polinomul g=X^n-3 este ireductibil peste Z, deci Gauss zice că este ireductibil și peste Q. Cf. obs. 3, g este polinomul minimal, unitar al lui \sqrt[n]{3}.

    Pentru polinomul caracteristic f_A al matricei A sunt adevărate următoarele afirmații:
    are coeficienții raționali; f_A(\sqrt[n]{3})=0; are gradul n ca și g; este unitar.
    Cf. 4. f_A=g.

    • 0
  2. user (0)

    Multumesc foarte mult!

    • 0
Raspunde

Raspunde