Home/ Intrebari/Q 93010
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

FaN.Anduu
Pe: 2019-02-01T17:53:32+02:00 In: In:

limita sir

Fie sirul (a_{n}) dat prin: a_{1}=1
a_{n+1}=\begin{cases} a_{n}+\frac{1}{2} & \text{ daca } n \ este \ par \\ \frac{a_{n}}{3} & \text{ daca } n \ este \ impar \end{cases}

Atunci limita \lim_{n\rightarrow \infty }a_{2n+1} = ?
Am incercat sa rescriu sirul dar m-am blocat. a_{1}=1
a_{n+1}=\begin{cases} a_{n}+r & \text{ daca } n \ este \ par \\ q \cdot a_{n} & \text{ daca } n \ este \ impar \end{cases}
q,r\in (0,1)
Cum pot sa scriu a_{2n+1} in functie de q si r?

Similare

2 raspunsuri

  1. FaN.Anduu

    Am incercat ceva.
    a_{2n+1}=a_{2n}+\frac{1}{2}
    a_{2n}=\frac{a_{2n-1}}{3}
    Deci daca notez b_{n}=a_{2n+1}
    b_{n}=\frac{b_{n-1}}{3}+\frac{1}{2}
    Cum ar trebui sa continui ?

  2. FaN.Anduu

    Am rezolvat-o intr-un final.
    Deci am aflat ca b_{n}=\frac{b_{n-1}}{3}+\frac{1}{2}
    b_{1}=a_{3}=\frac{5}{6}
    b_{2}=\frac{b_{1}}{3}+\frac{1}{2}
    .........
    b_{n+1}=\frac{1}{3}\cdot b_{n}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot b_{n-1})=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}(...(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot b_{1}))
    b_{n+1}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}+...+(\frac{1}{3})^{n-1})+(\frac{1}{3})^{n}\cdot b_{1}
    Suma din paranteza e o progresie geometrica si este egala cu \frac{\frac{1}{3^{n}}-1}{1}\cdot (-\frac{3}{2})
    Deci limita este egala cu \frac{1}{2}(\frac{\frac{1}{3^{n}}-1}{1}\cdot (-\frac{3}{2}))+\frac{1}{3^{n}}\cdot b_{1}=\frac{1}{2}(-1\cdot -\frac{3}{2})=\frac{3}{4}
    Daca b_{n+1}\rightarrow \frac{3}{4}\Rightarrow b_{n}\rightarrow \frac{3}{4} , nu?
    Se poate rezolva mai usor exercitiul ?Sau macar daca se pot ordona termenii de mai sus intr-un anume fel ca mi-a fost destul sa inteleg ce ramane dupa ce am dat factor acolo.Ma rog…

Raspunde

Raspunde