Home/ Intrebari/Q 92998
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

FaN.Anduu
user (0)
Pe: 2019-01-25T19:11:25+02:00 In: In:

limita utcn, nelamuriri,confuzii

Buna seara!
\lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt{2})(2-\sqrt[3]{2})\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})
Am gasit o rezolvare pe internet, insa nu am inteles unele lucruri.
Am inceput cu inegalitatea \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a\cdot b}
Deci \frac{2^{\frac{1}{n}}+2^{\frac{-1}{n}}}{2}\geq \sqrt{2^{\frac{1}{n}}\cdot 2^{\frac{-1}{n}}}=1
Obtin 2-2^{\frac{1}{n}}\leq 2^{\frac{-1}{n}}
Apoi se inlocuieste n>1 in fiecare membru, se inmultesc si se obtine (2-2^{1/2})(2-2^{1/3})\cdot ...\cdot (2-2^{1/n})\leq 2^{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})}
De aici n-am inteles de unde iese ca limita e 0.Stiu ca limita din membrul drept e 0 pentru ca e 2^{-\infty }.Deci daca aplicam o limita rezulta ca limita mea initiala e \leq 0 ? Sau se foloseste criteriul clestelui, dar daca limita din dreapta e 0, cea din stanga cat e?
Totodata, am vazut ca sirul e descrescator dar n am inteles de ce.Cum analizez x1,x2,..xn ca sa vad monotonia ?
Inca ceva, exista vreo regula dupa care sa ia a si b in prima inegalitate ? Sau s-a luat a si b astfel incat sa se reduca sub radical si sa obtinem ceva de care sa ne legam ?
Un ultim lucru, am vazut tot pe internet ca \prod_{k=1}^{\infty }(a_{n})(a_n>0) are o limita diferita de 0 daca si numai daca seria \sum_{k=1}^{\infty }log(a_n) converge.Ma intreb daca pot utiliza lucrul asta in cazul asta si sa ma folosesc cumva de graficul logaritmului ca sa aflu limita lui an.

Similare

21 raspunsuri

  1. Integrator
    maestru (V)

    FaN.Anduu post_id=112759 time=1548443485 user_id=17868 wrote:
    Buna seara!
    \lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt{2})(2-\sqrt[3]{2})\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})
    Am gasit o rezolvare pe internet, insa nu am inteles unele lucruri.
    Am inceput cu inegalitatea \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a\cdot b}
    Deci \frac{2^{\frac{1}{n}}+2^{\frac{-1}{n}}}{2}\geq \sqrt{2^{\frac{1}{n}}\cdot 2^{\frac{-1}{n}}}=1
    Obtin 2-2^{\frac{1}{n}}\leq 2^{\frac{-1}{n}}
    Apoi se inlocuieste n>1 in fiecare membru, se inmultesc si se obtine (2-2^{1/2})(2-2^{1/3})\cdot ...\cdot (2-2^{1/n})\leq 2^{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})}
    De aici n-am inteles de unde iese ca limita e 0.Stiu ca limita din membrul drept e 0 pentru ca e 2^{-\infty }.Deci daca aplicam o limita rezulta ca limita mea initiala e \leq 0 ? Sau se foloseste criteriul clestelui, dar daca limita din dreapta e 0, cea din stanga cat e?
    Totodata, am vazut ca sirul e descrescator dar n am inteles de ce.Cum analizez x1,x2,..xn ca sa vad monotonia ?
    Inca ceva, exista vreo regula dupa care sa ia a si b in prima inegalitate ? Sau s-a luat a si b astfel incat sa se reduca sub radical si sa obtinem ceva de care sa ne legam ?
    Un ultim lucru, am vazut tot pe internet ca \prod_{k=1}^{\infty }(a_{n})(a_n>0) are o limita diferita de 0 daca si numai daca seria \sum_{k=1}^{\infty }log(a_n) converge.Ma intreb daca pot utiliza lucrul asta in cazul asta si sa ma folosesc cumva de graficul logaritmului ca sa aflu limita lui a_n.


    Bună dimineața,
    Este bine cum ați raționat si trebuia să continuați în modul urmator:
    Se stie că dacă 0<a<0 , atunci rezultă că a=0.Deoarece 0<(2-2^{1/2})(2-2^{1/3})\cdot ...\cdot (2-2^{1/n})\leq 2^{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})} atunci și 0<\lim_{n\rightarrow \infty } (2-2^{1/2})(2-2^{1/3})\cdot ...\cdot (2-2^{1/n})\leq \lim_{n\rightarrow \infty } 2^{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})}=0 de unde rezultă că \lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt{2})(2-\sqrt[3]{2})\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})=0.
    ––––––––––––––––––-
    Nu este necesar să va complicați cu „Un ultim lucru, am vazut tot pe internet ca \prod_{k=1}^{\infty }(a_{n})(a_n>0) are o limita diferita de 0 daca si numai daca seria \sum_{k=1}^{\infty }log(a_n) converge.Ma intreb daca pot utiliza lucrul asta in cazul asta si sa ma folosesc cumva de graficul logaritmului ca sa aflu limita lui a_n.”….

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  2. FaN.Anduu
    user (0)

    Am inteles, multumesc mult!

    • 0
  4. FaN.Anduu
    user (0)

    Buna seara!
    Am aflat ca exercitiul poate fi rezolvat si cu criteriul raportului.
    Deci \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n+1]{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt[n+1]{2})=1
    Ce am gresit ? Limita ar trebui sa fie intre 0 si 1 ca limita initiala sa fie 0.

    • 0
  5. Integrator
    maestru (V)

    FaN.Anduu post_id=112795 time=1548794269 user_id=17868 wrote:
    Buna seara!
    Am aflat ca exercitiul poate fi rezolvat si cu criteriul raportului.
    Deci \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n+1]{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt[n+1]{2})=1
    Ce am gresit ? Limita ar trebui sa fie intre 0 si 1 ca limita initiala sa fie 0.


    Bună dimineața,

    Nu este corect \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n+1]{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt[n+1]{2})=1 deoarece ar rezulta că \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n+1]{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})}=\lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt[n+1]{2})=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2-\sqrt[3]{2}\cdot)\cdot ...\cdot (2-\sqrt[n]{2})} \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }(2-\sqrt[n+1]{2})=\frac{0}{0}\cdot 1 și deci avem cazul de nedeterminare \frac{0}{0}.

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  6. FaN.Anduu
    user (0)

    Multumesc pentru raspuns!
    Si cum pot aplica criteriul raportului in cazul asta?Sau nu se poate?

    • 0
  8. Kierkegaard
    user (0)

    Salut! Exista o lema ce poate fi folosita in cazul problemei, care e enuntata asa:
    Fie x_{n}>0, n\in \mathbb{N}, astfel ca:
    \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n}<1
    Atunci \lim_{n \to \infty} x_{n}=0

    Aplicam lema, calculand \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-2^{\frac{1}{n+1}})^n = \frac{1}{2} <1,, rezultand ca limita lui x_{n} = 0

    • 0
  9. FaN.Anduu
    user (0)

    Salut, mersi mult mult pentru raspuns!
    Doar o nelamurire, nu inteleg de ce limita e 1/2

    • 0
  10. Kierkegaard
    user (0)

    FaN.Anduu post_id=112806 time=1548875007 user_id=17868 wrote:
    Salut, mersi mult mult pentru raspuns!
    Doar o nelamurire, nu inteleg de ce limita e 1/2

    Se observa nedeterminare (1^ infinit), aplici remarcabila (1+n)^1/n= e, iar apoi faci un L’Hopital. Mi-e destul de greu sa o scriu in simboluri, dar, daca insisti si nu reusesti, imi fac timp si ti-o scriu.

    • 0
  12. FaN.Anduu
    user (0)

    Am reusit s o rezolv.
    Mersi mult!

    • 0
  13. Integrator
    maestru (V)

    Kierkegaard post_id=112805 time=1548874739 user_id=22775 wrote:
    Salut! Exista o lema ce poate fi folosita in cazul problemei, care e enuntata asa:
    Fie x_{n}>0, n\in \mathbb{N}, astfel ca:
    \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n}<1
    Atunci \lim_{n \to \infty} x_{n}=0

    Aplicam lema, calculand \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-2^{\frac{1}{n+1}})^n = \frac{1}{2} <1,, rezultand ca limita lui x_{n} = 0


    Bună dimineața,

    Cine este x_n?Dacă x_n este un produs de n-1 factori și x_{n+1}=x_n \cdot (2-\sqrt[n+1]{2}), atunci cum ajungeți la concluzia că „\lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt[n+1]{2})^n = \frac{1}{2} <1, , rezultand ca limita lui x_{n} = 0„?Vedeți că mai întâi apare cazul de nedeterminare \frac{0}{0} și abia după aceea apare cazul de nedeterminare 1^\infty….

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  14. Integrator
    maestru (V)

    FaN.Anduu post_id=112808 time=1548884964 user_id=17868 wrote:
    Am reusit s o rezolv.
    Mersi mult!


    Bună dimineața,

    Arătați rezolvarea!Mulțumesc!

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  16. FaN.Anduu
    user (0)

    L=\lim_{n\to\infty}\left(\left(2-2^{\frac{1}{n+1}}\right)^n\right)
    Am logaritmat ambii membri si am obtinut
    \ln(L)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\ln\left(2-2^{\frac{1}{n+1}}\right)}{\dfrac{1}{n}}\right)
    Dupa ce am aplicat L’Hopital am ajuns la ln(L)=-ln(2) deci L=\frac{1}{2}
    Daca mi-ati arata cum as putea folosi \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e ca sa rezolv limita v-as fi recunoscator (ma gandesc ca se poate rezolva mai rapid )

    • 0
  17. grapefruit
    maestru (V)

    lim(1+1-2^{1/(n+1))^n , alegem x_n=1-2^(n+1); ramane sa calculam lim (1-2^{1/(n+1)} *n , dam un minus factor comun si impartim prin 1/n+1 ca sa folosim limita (a^x -1)/x=ln a ,limita iese -ln2 deci e la minus ln2=1/2

    • 0
  18. FaN.Anduu
    user (0)

    Multumesc!

    • 0
  20. Integrator
    maestru (V)

    FaN.Anduu post_id=112813 time=1548928983 user_id=17868 wrote:
    L=\lim_{n\to\infty}\left(\left(2-2^{\frac{1}{n+1}}\right)^n\right)
    Am logaritmat ambii membri si am obtinut
    \ln(L)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\ln\left(2-2^{\frac{1}{n+1}}\right)}{\dfrac{1}{n}}\right)
    Dupa ce am aplicat L’Hopital am ajuns la ln(L)=-ln(2) deci L=\frac{1}{2}
    Daca mi-ati arata cum as putea folosi \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e ca sa rezolv limita v-as fi recunoscator (ma gandesc ca se poate rezolva mai rapid )


    Bună seara,

    Eu credeam că ați găsit altă rezolvare decât cea pe care ați dat-o Dvs. inițial , dar pe care nu ați finalizat-o si eu v-am arătat cum trebuia finalizată…Utilizatorul „Kierkegaard” v-a dat o soluție care nu este corectă deoarece , prin utilizarea acelei leme , Dumnealui elimină cazul de nedeterminare \frac{0}{0} care apare în calculul lui \lim_{n\to\infty} \bigg (\frac{x_n\cdot (2-\sqrt[n+1]{2})}{x_n}\bigg )^n în care nu este permis a se considera că \lim_{n\to\infty}\bigg (\frac{x_{n+1}}{x_n}\bigg )^n =\lim_{n\to\infty}\bigg (\frac{x_n\cdot \big (2-\sqrt[n+1]{2}\big )}{x_n}\bigg )^n=\lim_{n\to\infty}\big (2-\sqrt[n+1]{2}\big )^n și asta deoarece \lim_{n\to\infty} x_n=0…..L-am întrebat pe utilizatorul „Kierkegaard” cine este x_n , dar văd că nu a răspuns încă….
    Sper că ați înțeles raționamentul meu….

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  21. FaN.Anduu
    user (0)

    Am inteles.Am insistat putin sa aflu cum se rezolva prin metoda a doua pentru ca indicatiile de la sfarsitul culegerii imi sugereaza sa folosesc lema despre care a scris userul „Kierkegaard”.
    Multumesc!

    • 0
  22. ghioknt
    profesor

    Integrator post_id=112809 time=1548914390 user_id=14570 wrote:

    Bună dimineața,

    Cine este x_n?Dacă x_n este un produs de n-1 factori și x_{n+1}=x_n \cdot (2-\sqrt[n+1]{2}), atunci cum ajungeți la concluzia că „\lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt[n+1]{2})^n = \frac{1}{2} <1, , rezultand ca limita lui x_{n} = 0„?Vedeți că mai întâi apare cazul de nedeterminare \frac{0}{0} și abia după aceea apare cazul de nedeterminare 1^\infty….

    Toate cele bune,

    Integrator

    Domnule Integrator, nu mai speriați copiii! Acest bau-bau, care aici are înfățișarea 0/0, nu apare decât dacă se trece la limită. Ori utilizatorul Kierkegaard întâi a simplificat (și, slavă Domnului, dreptul de a simplifica un raport prin factori nenuli nu ne-a fost încă luat) și apoi a trecut la limită.

    • 0
  24. Kierkegaard
    user (0)

    Integrator post_id=112809 time=1548914390 user_id=14570 wrote:
    [quote=Kierkegaard post_id=112805 time=1548874739 user_id=22775]
    Salut! Exista o lema ce poate fi folosita in cazul problemei, care e enuntata asa:
    Fie x_{n}>0, n\in \mathbb{N}, astfel ca:
    \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n}<1
    Atunci \lim_{n \to \infty} x_{n}=0

    Aplicam lema, calculand \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-2^{\frac{1}{n+1}})^n = \frac{1}{2} <1,, rezultand ca limita lui x_{n} = 0


    Bună dimineața,

    Cine este x_n?Dacă x_n este un produs de n-1 factori și x_{n+1}=x_n \cdot (2-\sqrt[n+1]{2}), atunci cum ajungeți la concluzia că „\lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt[n+1]{2})^n = \frac{1}{2} <1, , rezultand ca limita lui x_{n} = 0„?Vedeți că mai întâi apare cazul de nedeterminare \frac{0}{0} și abia după aceea apare cazul de nedeterminare 1^\infty….

    Toate cele bune,

    Integrator

    Buna seara!
    Care e greseala, pana la urma, despre care vorbiti? Da, intai am simplificat, apoi am trecut la limita. Vreau sa fiti mai explicit, sa stiu daca gresesc, anul asta am si eu admiterea si mai sunt multi care se folosesc de forum pt. rezolvarea problemelor. Mentionez ca sunt aici sa invat si, eventual, sa ajut.

    • 0
  25. Integrator
    maestru (V)

    ghioknt post_id=112821 time=1548959822 user_id=18683 wrote:
    [quote=Integrator post_id=112809 time=1548914390 user_id=14570]

    Bună dimineața,

    Cine este x_n?Dacă x_n este un produs de n-1 factori și x_{n+1}=x_n \cdot (2-\sqrt[n+1]{2}), atunci cum ajungeți la concluzia că „\lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt[n+1]{2})^n = \frac{1}{2} <1, , rezultand ca limita lui x_{n} = 0„?Vedeți că mai întâi apare cazul de nedeterminare \frac{0}{0} și abia după aceea apare cazul de nedeterminare 1^\infty….

    Toate cele bune,

    Integrator

    Domnule Integrator, nu mai speriați copiii! Acest bau-bau, care aici are înfățișarea 0/0, nu apare decât dacă se trece la limită. Ori utilizatorul Kierkegaard întâi a simplificat (și, slavă Domnului, dreptul de a simplifica un raport prin factori nenuli nu ne-a fost încă luat) și apoi a trecut la limită.

    Bună dimineața,

    😳 Aveți dreptate!Acum am înțeles că am făcut abuz de proprietățile limitelor în cazul limitelor rapoartelor de funcții de acest tip.Mulțumesc foarte mult!

    Cu deosebită stimă,

    Integrator

    • 0
  26. Integrator
    maestru (V)

    Kierkegaard post_id=112822 time=1548963297 user_id=22775 wrote:
    [quote=Integrator post_id=112809 time=1548914390 user_id=14570]
    [quote=Kierkegaard post_id=112805 time=1548874739 user_id=22775]
    Salut! Exista o lema ce poate fi folosita in cazul problemei, care e enuntata asa:
    Fie x_{n}>0, n\in \mathbb{N}, astfel ca:
    \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n}<1
    Atunci \lim_{n \to \infty} x_{n}=0

    Aplicam lema, calculand \lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-2^{\frac{1}{n+1}})^n = \frac{1}{2} <1,, rezultand ca limita lui x_{n} = 0


    Bună dimineața,

    Cine este x_n?Dacă x_n este un produs de n-1 factori și x_{n+1}=x_n \cdot (2-\sqrt[n+1]{2}), atunci cum ajungeți la concluzia că „\lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt[n+1]{2})^n = \frac{1}{2} <1, , rezultand ca limita lui x_{n} = 0„?Vedeți că mai întâi apare cazul de nedeterminare \frac{0}{0} și abia după aceea apare cazul de nedeterminare 1^\infty….

    Toate cele bune,

    Integrator

    Buna seara!
    Care e greseala, pana la urma, despre care vorbiti? Da, intai am simplificat, apoi am trecut la limita. Vreau sa fiti mai explicit, sa stiu daca gresesc, anul asta am si eu admiterea si mai sunt multi care se folosesc de forum pt. rezolvarea problemelor. Mentionez ca sunt aici sa invat si, eventual, sa ajut.

    Bună dimineața,

    😳 Mii de scuze!Am înțeles că am greșit!Și eu sunt aici ca să învăț , pentru că îmi place matematica și cu această ocazie rog toți utilizatorii să mă scuze dacă mai greșesc…Pe vremea mea nu se făcea atâta matematică în liceu și nici măcar la Politehnică.Mulțumesc mult!

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  28. Kierkegaard
    user (0)

    Integrator post_id=112824 time=1549000494 user_id=14570 wrote:
    [quote=Kierkegaard post_id=112822 time=1548963297 user_id=22775]
    [quote=Integrator post_id=112809 time=1548914390 user_id=14570]

    Bună dimineața,

    Cine este x_n?Dacă x_n este un produs de n-1 factori și x_{n+1}=x_n \cdot (2-\sqrt[n+1]{2}), atunci cum ajungeți la concluzia că „\lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n+1}}{x_{n}})^{n} = \lim_{n \to \infty} (2-\sqrt[n+1]{2})^n = \frac{1}{2} <1, , rezultand ca limita lui x_{n} = 0„?Vedeți că mai întâi apare cazul de nedeterminare \frac{0}{0} și abia după aceea apare cazul de nedeterminare 1^\infty….

    Toate cele bune,

    Integrator

    Buna seara!
    Care e greseala, pana la urma, despre care vorbiti? Da, intai am simplificat, apoi am trecut la limita. Vreau sa fiti mai explicit, sa stiu daca gresesc, anul asta am si eu admiterea si mai sunt multi care se folosesc de forum pt. rezolvarea problemelor. Mentionez ca sunt aici sa invat si, eventual, sa ajut.

    Bună dimineața,

    😳 Mii de scuze!Am înțeles că am greșit!Și eu sunt aici ca să învăț , pentru că îmi place matematica și cu această ocazie rog toți utilizatorii să mă scuze dacă mai greșesc…Pe vremea mea nu se făcea atâta matematică în liceu și nici măcar la Politehnică.Mulțumesc mult!

    Toate cele bune,

    Integrator

    Va multumesc si eu ca va dati interesul si apreciez ca va ocupati o parte din timp pentru probleme.

    • 0
Raspunde

Raspunde