Home/ Intrebari/Q 92968
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

FaN.Anduu
Pe: 2019-01-03T22:31:47+02:00 In: In:

utcn 405

Multimea valorilor lui x real pentru care este adevarata egalitatea
2arctgx + arcsin(2x/(1+x^2))=pi
Raspunsul e [1,infinit)

Similare

7 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Sunt posibile mai multe abordări, din fiecare având câte ceva de învățat. Iată una elementară.
    Din condițiile de existență pentru arcsin, -1\leq \frac{2x}{1+x^2}\leq 1 afli că domeniul maxim
    de existență pentru expresia din membrul stâng este R, cu observația că egalitățile au loc în punctele -1, respectiv 1.
    Scriind egalitatea așa: 2arctgx=\pi -arcsin\frac{2x}{1+x^2} și ținând cont că arcsinusul ia valori
    în intervalul [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}], deducem că membrul drept ia valori în intervalul [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}].
    2arctgx\geq \frac{\pi }{2}\Rightarrow arctgx\geq \frac{\pi }{4}\Rightarrow x\geq 1
    deci mulțimea cerută este inclusă în intervalul [1;\infty).
    Reciproc, pentru un x din acest interval, să observăm că ambii membri iau valori în intevalul [\frac{\pi}{2};\pi),
    interval pe care funcția sinus este injectivă, deci dacă \sin(2arctgx)=\sin (\pi -arcsin\frac{2x}{1+x^2}),
    atunci și 2arctgx=\pi-arcsin\frac{2x}{1+x^2}.
    Ori \sin (2arctgx)=\frac{2tg(arctgx)}{1+tg^2(arctgx)}=\frac{2x}{1+x^2},
    \sin(\pi-arcsin\frac{2x}{1+x^2})=\sin (arcsin\frac{2x}{1+x^2})=\frac{2x}{1+x^2}.

  2. ghioknt
    profesor

    Iată altă abordare elementară. Atunci când u parcurge intervalul (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}), numărul x=tgu
    parcurge R. Cu substituția x=tgu egalitatea devine
    2argtg(tgu)+arcsin\frac{2tgu}{1+tg^2u}=\pi \Leftrightarrow arcsin(\sin 2u)=\pi -2u\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow arcsin(\sin (\pi -2u))=\pi -2u\Leftrightarrow \pi -2u\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\Leftrightarrow -2u\in [-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}]\\\Leftrightarrow u\in [\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}]\cap (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})\Leftrightarrow u\in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2})\Leftrightarrow x\in[1;\infty).

  4. ghioknt
    profesor

    Un elev cu 11 clase mai poate și să caute intervalele pe care funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;f(x)=2arctgx+arcsin\frac{2x}{1+x^2}
    are derivata nulă. Cu observația din prima postare deducem că f s-ar putea să nu fie derivabilă în -1 și în 1, adică punctele în care argumentul arcsinusului ia valorile -1 și 1. Pentru orice x din intervalele (-\infty;-1),\,(-1;1),\;(1;\infty);
    f'(x)=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2(1-x^2)}{|1-x^2|(1+x^2)}
    Avem f'(x)=0 pe intervalele pe care 1-x^2<0 adica (-\infty;-1)\;sau\;(1;\infty).
    Verificăm că f(\sqrt{3})=\pi, dar si f(1)=\pi, deci mulțimea cerută este [1;\infty).

  5. FaN.Anduu

    Va multumesc mult pentru raspunsuri!
    Tocmai incepusem si eu o rezolvare cu u si am reusit sa fac ceva luandu-ma dupa alte modele de exercitii.Rezolvarea nu stiu daca e corecta dar am o nelamurire.
    arcsin(sin2u) = 2u cand 2u apartine [-pi/2, pi/2] deci u apartine [-pi/4, pi/4] (formula am gasit-o intr-un document pe internet, asta fiind prima ramura
    arcsin(sin2u) = pi-2u ( din ecuatia initiala ) pentru u apartine (pi/4, pi/2) (a doua ramura)
    arcsin(sin2u) = -pi-2u ( prima nelamurire, de ce se ia pi si cu semn schimbat? ) pentru u apartine (-pi/2 , -pi/4) (a treia ramura)
    Nelamuririle mele sunt legate de ultimele 2 ramuri, mai precis, de intervalele din care face parte u.
    Am incercat sa-mi dau seama de ce e (-pi/2, -/pi4) cand arcsin(sin2u)=-pi-2u si de ce e (pi/4, pi/2) cand arcsin(sin2u) = pi-2u
    Ma gandesc ca e ceva legat de cadrane si cercul trigonometric.
    Am pornit de la ramura initiala (-pi/4, pi/4) sa vad daca pot ajunge la urmatoarele 2 intervale dar fara succes.
    Primul interval l-am inteles (din prima ramura).
    Imi place metoda pentru clasa a11a, dar vreau sa inteleg si metoda asta.
    O poza cu incercarea mea de a rezolva exercitiul
    https://imgur.com/9ZFD9lY

  6. ghioknt
    profesor

    Prin definiție, mulțimea valorilor funcției arcsin este intervalul [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}], prin urmare
    egalitatea arcsin(sina)=a este adevărată dacă și numai dacă a\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].
    u\in [-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{4})\Rightarrow 2u\in [-\pi ;-\frac{\pi }{2}), deci 2u este în afara intervalului, este prea mic.
    În schimb \pi +2u\in [0;\frac{\pi}{2}), deci egalitatea arcsin(sin(\pi+2u))=\pi+2u
    este adevărată. Cum \sin 2u=-\sin (\pi+2u) avem:
    arcsin(\sin 2u)=arcsin(-\sin(\pi+2u))=-arcsin(\sin (\pi+2u))=-(\pi+2u).

  8. grapefruit
    maestru (V)

    Eu nu am inteles finalizarea problemei prin metoda de clasa a 11a. De ce ati mai calculat si f(1) ?

    De ce nu ati tras concluzia ca intervalul (-00,-1) reunit cu (1,00) este cel cautat ..?
    Si de ce ati eliminat intervalul (-00,-1)

    Later edit Totusi daca f este definita pe o reuniune de intervae,atunci f este constanta pe fiecare interval. Deci dupa pararea mea este necesar sa calculam si f(-rad(3)) pentru a trage aceasta concluzie.

    Eu obtin ca functia nu este derivabila in 1 ,pentru ca avem 0 diferit de 2 … este adevarat?

  9. ghioknt
    profesor

    grapefruit post_id=112654 time=1546860717 user_id=18963 wrote:
    Eu nu am inteles finalizarea problemei prin metoda de clasa a 11a. De ce ati mai calculat si f(1) ?

    Later edit Totusi daca f este definita pe o reuniune de intervae,atunci f este constanta pe fiecare interval. Deci dupa pararea mea este necesar sa calculam si f(-rad(3)) pentru a trage aceasta concluzie.
    Eu obtin ca functia nu este derivabila in 1 ,pentru ca avem 0 diferit de 2 … este adevarat?

    Nu este necesar (ci doar suficient) să calculez f(-\sqrt{3}) pentru că cineva cu spirit de observație vede ca f este impară, deci pe intervalul (-oo; -1) va lua valoarea -pi.
    Derivata este nulă doar pe intervalul deschis (1, oo), nu și în 1, unde, ai observat singur, nu este derivabilă. Atunci fie calculezi pur și simplu f(1)=pi, fie, mai subtil, invoci continuitatea lui f, deci în 1 f va avea aceeași valoare ca valoarea constantă de pe intervalul (1, oo) (valoarea funcției și limita la dreapta în 1 trebuie să coincidă).

Raspunde

Raspunde