Fie ABC un triunghi si ortocentrul H iar centrul cercului circumscris O. Notam X, Y, Z centrele cercurilor circumsrise triunghiurilor HBC, HAC, respectiv HAB. Demonstrati ca: AX + BY + CZ = OH. Aceste segmente sunt vectori. Multumesc!
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie ABC un triunghi si ortocentrul H iar centrul cercului circumscris O. Notam X, Y, Z centrele cercurilor circumsrise triunghiurilor HBC, HAC, respectiv HAB. Demonstrati ca: AX + BY + CZ = OH. Aceste segmente sunt vectori. Multumesc!
Pentru a rezolva această problemă e bine să știi, sau să știi să demonstrezi, că cercurile circumscrise triunghiurilor HBC și ABC sunt simetrice față de dreapta BC, deci și X este simetricul lui O față de BC. Asta înseamnă că patrulaterul BOCX este un romb și, în consecință, are loc relația:
Atunci
Scrii relațiile analoage și pentru ceilalți 2 vectori, aduni :
Multumesc! Dar nu stiu sa demonstrez acea simetrie fata de BC. Acest lucru l-am incercat de cand am inceput problema. Ma puteti ajuta, va rog?
Fie A’, B’, C’ picioarele înălțimilor,
simetricele lui H față de BC, CA, AB. Voi mai presupune în continuare că unghiurile B și C sunt ascuțite. Din motive de simetrie avem 
sunt suplementare, deci și
sunt suplementare, adică patrulaterul 
este inscriptibil. 
X este centrul cercului circumscris triunghiului HBC, cele două triunghiuri sunt simetrice față de BC, deci și O și X sunt simetrice față de BC. 
se
pentru ca 
este simetricul lui H față de AC.
din patrulaterul inscriptibil AB’HC’.
din patrulaterul inscriptibil BCC’B’.
arată că și patrulaterul 
este inscriptibil
Din patrulaterul inscriptibil AB’HC’ deducem că
O este (și) centrul cercului circumscris triunghiului
Dacă și A este ascuțit, atunci la fel se demonstrează și despre Y și Z că sunt simetricele lui O față de CA, AB.
Dacă A este obtuz, deci A este între B și C’, între C și B’, dar și între H și A’, demonstrația faptului că
află pe cercul circumscris triunghiului ABC suferă unele modificări.
În concluzie,
(unghiuri formate de diagonale cu o pereche de laturi opuse).