Home/ Intrebari/Q 92948
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

incroyable
user (0)
Pe: 2018-12-16T10:47:09+02:00 In: In:

Matrice in modulo 5

Pentru fiecare a\in \mathbb{Z}_{5} se considera matricea A(a)\in M_{2}(\mathbb{Z}_{5}), A(a)=\begin{pmatrix} a & \hat2\\ \hat2 & a \end{pmatrix}
Sa se demonstreze ca \forall a\in \mathbb{Z}_{5}, (A(a))^{5}=A(a)

Similare

4 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    În definitiv sunt numai 5 matrici pentru care poți costata prin calcul că fiecare dintre ele verifică relația cu pricina.
    Dacă vrei să fii mai sofisticat, să faci o demonstrație care să fie valabilă pentru orice corp \mathbb{Z}_p
    poți constata că relația Cayley pentru A(a) este (A(a))^2-2aA(a)+(a^2-\widehat{4})I_2=O_2 care se transformă în relația de recurență (A(a))^{n+1}-2a(A(a))^n+(a^2-\widehat{4})A^{n-1}=O_2.
    La fel ca în cazul matricelor cu elemente în corpul \mathbb{R}, pentru că ecuația caracteristică
    r^2-2ar+(a^2-\widehat{4})=0 are rădăcinile r_1=a-\widehat{2},\;r_2=a+\widehat{2}, deducem că
    există două matrici B și C a. î. A^n=r_1^nB+r_2^nC pentru orice n natural.
    Avem atunci A^5=r_1^5B+r_2^5C=r_1B+r_2C=A pentru că în corpul \mathbb{Z}_5 cu 5 elemente
    avem x^5=x pentru orice x.

    • 0
  2. incroyable
    user (0)

    Ati putea va rog sa imi explicati de ce cele doua radacini atesta, mai exact, afirmatia cautata? In plus, matricele B si C trebuie sa aiba o forma anume?
    Practic nu am mai inteles rezolvarea din momentul introducerii celor doua matrici si pana la final. x^{5}=x am inteles si este clar, insa restul nu.

    • 0
  4. ghioknt
    profesor

    Sper că ai înțeles că cele notate de mine cu r_1,\;r_2 sunt rădăcinile ecuației caracteristice, deci că au loc:
    r_i^2=2ar_i-(a^2-\widehat{4})\;pt.\;i=1,2.
    Consider propozițiile P(n):\;A^n=r_1^nB+r_2^nB,\;n\in \mathbb{N} și determin B și C a. î. P(0) și P(1)
    să fie adevărate, adică: I_2=B+C,\;A=r_1B+r_2C. Rezolv acest sistem prin metoda reducerii, de exemplu și obțin
    A-r_2I_2=(r_1-r_2)B=-\widehat{4}B=B\;(pt.\;ca\;-\widehat{4}=\widehat{1})\\A-r_1I_2=(r_2-r_1)C=\widehat{4}C=-C,\;C=r_1I_2-A=...
    E important că B și C există și mai puțin important cum arată ele în final. Să demonstrăm acum P(n) prin inducție.
    Să presupunem că P(n-1) și P(n) sunt adevărate și să folosim relația de recurență.
    A^{n+1}=2aA^n-(a^2-\widehat{4})A^{n-1}=2a(r_1^nB+r_2^nC)-(a^2-\widehat{4})(r_1^{n-1}B+r_2^{n-1}C)=\\=r_1^{n-1}(2ar_1-(a^2-\widehat{4}))B+r_2^{n-1}(2ar_2-(a^2-\widehat{4}))C=r_1^{n-1}r_1^2B+r_2^{n-1}r_2^2C=\\=r_1^{n+1}B+r_2^{n+1}C.
    Deci P(n+1) este adevărată dacă P(n-1) și P(n) sunt adevărate; dar P(0) și P(1) sunt adevărate pentru că așa au fost determinate B și C. Conform principiului inducției, propozițiile P(n) sunt adevărate pentru orice n natural, iar punctul de pornire a demonstrației a fost tocmai existența în \mathbb{Z}_5 a celor 2 rădăcini ale ecuației caracteristice. Eu am presupus că tehnica asta este cunoscută multor elevi, de la matricile cu elemente într-un corp numeric.

    • 0
  5. incroyable
    user (0)

    Am inteles intocmai acum, probabil o sa ni se predea la scoala, momentan nu am facut, eu am vrut sa lucrez inainte si sa fac mai multe exercitii.
    Important este ca am inteles modul de lucru si va multumesc frumos pentru timpul acordat.

    • 0
Raspunde

Raspunde