Home/ Intrebari/Q 92944
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

incroyable
user (0)
Pe: 2018-12-12T15:26:43+02:00 In: In:

limita nIn

Fie (I_{n})_{n\ge1} , I_{n} = \int_0^1 \frac{x^{n}}{ax^{2}+bx+c}\,dx

Calculati lim_{n\to\infty}nI_{n}

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Folosim aceleași tehnici ca în problema postată de Mishu. Este clar că numitorul nu trebuie să aibă rădăcini în intervalul [0; 1], deci el păstrează semn constant. Voi considera cazul în care este strict pozitiv.
    În această situație șirul (I_n) este descrescător pentru că
    0\leq x\leq 1\Rightarrow x^{n+1}\leq x^n\Rightarrow \frac{x^{n+1}}{ax^2+bx+c}\leq \frac{x^{n}}{ax^2+bx+c}\Rightarrow I_{n+1}\leq I_n.
    Voi obține o relație de recurență. \frac{1}{n+1}=\int_{0}^{1}x^ndx=\int_{0}^{1}\frac{x^n(ax^2+bx+c)}{ax^2+bx+c}dx=aI_{n+2}+bI_{n+1}+cI_n
    Acum folosim monotonia șirului. Dacă înlocuim toți termenii din relație cu I_n, deci cu cel mai mare:
    \frac{1}{n+1}\leq (a+b+c)I_n\Rightarrow I_n\geq \frac{1}{(a+b+c)(n+1)}
    Iar dacă înlocuim toți termenii cu I_{n+2}, deci cu cel mai mic:
    \frac{1}{n+1}\geq (a+b+c)I_{n+2}\Rightarrow I_{n+2}\leq \frac{1}{(a+b+c)(n+1)}\Rightarrow I_n\leq \frac{1}{(a+b+c)(n-1)}
    Nu știu dacă ai observat, dar în calculele făcute am folosit o ipoteza care nu este în textul tău și anume am presupus că toți coeficienții a, b și c sunt strict pozitivi, căci numai așa din I_{n+2}\leq I_n pot să deduc
    aI_{n+2}\leq aI_n etc.
    Putem scrie: \frac{n}{(a+b+c)(n+1)}\leq nI_n\leq \frac{n}{(a+b+c)(n-1)}, deci limita este \frac{1}{(a+b+c)}

    • 0
  2. incroyable
    user (0)

    Am inteles, multumesc frumos pentru timpul acordat.

    • 0
Raspunde

Raspunde