Home/ Intrebari/Q 92934
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

MariusDanFlorescu
user (0)
Pe: 2018-12-07T12:31:41+02:00 In: In:

Inele

Buna ziua! Ma puteti ajuta, va rog, la exercitiile A3, A5 si A6? Multumesc anticipat!

Attached files

Similare

4 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    A4. a) Relația din ipoteză, valabilă pentru orice element, se aplică elementului x+x și se studiază consecințele:
    (x+x)(x+x)=x+x\Rightarrow x^2+x^2+x^2+x^2=x+x\Rightarrow x+x+x+x=x+x\\ \Rightarrow x+x=0.
    După cum observi, am folosit distributivitatea, relația din ipoteză și regula reducerii termenilor în grupul (A, +) (care este același lucru cu regula simplificării într-un grup în notație multiplicativă).
    b). Nu avem ce demonstra; dacă ipoteza este valabilă pentru orice x, ea este aplicabilă și lui x+y.
    c). Să observăm mai întâi că x+x=0 se mai scrie x=-x, deci în acest inel orice element se poate înlocui la nevoie cu opusul său. Apoi, din relația de la b), deducem:
    (x+y)(x+y)=x+y\Rightarrow x^2+xy+yx+y^2=x+y\Rightarrow xy+yx=0,
    care se mai scrie yx=-xy sau, cu observația de mai sus, yx=xy.

  2. ghioknt
    profesor

    A5. Această problemă este și mai simplă decât A4. Este suficient să verifici că
    (1-a)(1+a+a^2+...+a^{n-1})=1-a^n=1.
    Evident, cele două paranteze comută între ele pentru că oricare două puteri ale unui element comută între ele.
    Cu asta am demonstrat două lucruri: că 1-a este inversabil și că (1-a)^{-1}=1+a+a^2+...+a^{n-1}.

  4. ghioknt
    profesor

    A6. Afirmația din ipoteză, că x^{-1} este inversul lui 1-ab înseamnă, conform definiției, că
    x^{-1}(1-ab)=1,\;(1-ab)x^{-1}=1, adică x^{-1}-x^{-1}ab=1,\;x^{-1}-abx^{-1}=1
    sau încă: x^{-1}ab=x^{-1}-1,\;abx^{-1}=x^{-1}-1.
    Exact aceste relații le vom folosi la momentul oportun în următoarele calcule.
    (1-ba)(1+bx^{-1}a)=1+bx^{-1}a-ba-babx^{-1}a=1+bx^{-1}a-ba-b(x^{-1}-1)a=\\=1+bx^{-1}a-ba-bx^{-1}a+ba=1;
    (1+bx^{-1}a)(1-ba)=1+bx^{-1}a-ba-bx^{-1}aba=1+bx^{-1}a-ba-b(x^-1}-1)a=\\=1+bx^{-1}a-ba-bx^{-1}a+ba=1.
    Aceste rezultate dovedesc tocmai că 1-ba este element inversabil și că inversul său este 1+bx^{-1}a.

  5. MariusDanFlorescu
    user (0)

    Va multumesc din suflet pentru ajutorul acordat!

Raspunde

Raspunde