Home/ Intrebari/Q 92918
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

DragosP
Pe: 2018-11-25T07:18:59+02:00 In: In:

Integrabile cu parte intreaga

1.Să se arate că:
\int_{1}^{n^2}\left [ \sqrt{x} \right ]dx=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}dx
2.Să se calculeze:
\lim_{x\rightarrow inf}\frac{\int_{1}^{0}[2^nx]}{\int_{1}^{0}[3^nx]}dx
Mulțumesc anticipat!! 🙂

Similare

4 raspunsuri

  1. Felixx
    veteran (III)

    1)Explicitam functia parte intreaga
    \left [ \sqrt{x} \right ]=\begin{cases} 1 & \text{ if } x\in [1,4) \\ 2 & \text{ if } x\in [4,9) \\ 3 & \text{ if } x\in [9,16) \\ & \text{ if } x= \\ n-1& \text{ if } x\in [\left ( n-1 \right )^{2},n^{2}) \\ n& \text{ if } x=n^{2} \end{cases}
    Atunci:
    I=\int_{1}^{4}1dx+\int_{4}^{9}2dx+\int_{9}^{16}3dx+...+\int_{\left ( n-1 \right )^{2}}^{n^{2}}\left ( n-1 \right )dx=1\left ( 4-1 \right )+2\left ( 9-4 \right )+3\left ( 16-9 \right )+...+\left ( n-1 \right )\left [ n^{2}-\left ( n-1 \right )^{2} \right ]=1\cdot 3+2\cdot 5+3\cdot 7+...+\left ( n-1 \right )\left ( 2n-1 \right )=\sum_{k=2}^{n}\left ( k-1 \right )\left ( 2k-1 \right )=\sum_{k=2}^{n}\left ( 2k^{2}-3k+1 \right )=2\sum_{k=2}^{n}k^{2}-3\sum_{k=2}^{n}k+\sum_{k=2}^{n}1=2\left ( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2} \right )-2-3\left ( 1+2+...+n \right )+3+\left ( n-1 \right )=2\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}-3\cdot \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+1+n-1=...=\frac{n\left ( n-1 \right )\left ( 4n+1 \right )}{6}

  2. DragosP

    Multumesc foarte mult!!!
    La problema 2 oare cum ar trebui procedat, dat fiind ca exista si acel n in partea intreaga care ma cam deruteaza? 🙂
    Edit:La pb 2, n tinde la infinit, nu x.Am gresit.

  4. ghioknt
    profesor

    Voi repeta într-o manieră mai concentrată cele scrise de Felixx. Dacă f este o funcție crescătoare pe intervalul
    [a; b], atunci încercăm să determinăm intervale [x_k;x_{k+1}) pe care să avem [f(x)]=k, pentru valori întregi, succesive ale lui k. Mai trebuie să deteminăm valorile minimă și maximă ale lui k pentru care intervalele respective acoperă [a; b]. Pe un asemenea interval putem scrie \int_{x_k}^{x_{k+1}}[f(x)]dx=\int_{x_k}^{x_{k+1}}kdx=k(x_{k+1}-x_k)
    deși funcția [f(x)] pe care trebuie să o integrăm diferă într-un punct, și anume în x_{k+1}, de constanta k.
    Concret. [2^nx]=k\Leftrightarrow k\leq 2^nx<k+1\Leftrightarrow \frac{k}{2^n}\leq x<\frac{k+1}{2^n}.
    Pentru a acoperi intervalul de integrare [0; 1] cu asemenea intervale trebuie să-i dăm lui k toate valorile de la 0 la 2^n-1, dar putem renunța la k=0 pentru că integrala din 0 este 0.
    \int_{0}^{1}[2^nx]dx=\sum_{k=1}^{2^n-1}\int_{\frac{k}{2^n}}^{\frac{k+1}{2^n}}kdx=\sum_{k=1}^{2^n-1}k(\frac{k+1}{2^n}-\frac{k}{2^n})=\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n-1}k=\frac{(2^n-1)2^n}{2^n\cdot 2}=\frac{2^n-1}{2}
    Analog \int_{0}^{1}[3^nx]dx=\frac{3^n-1}{2}, deci ai de calculat \lim_{n\to \infty }\frac{2^n-1}{3^n-1}.

  5. grapefruit
    maestru (V)

    ghioknt post_id=112453 time=1543178435 user_id=18683 wrote:

    Pentru a acoperi intervalul de integrare [0; 1] cu asemenea intervale trebuie să-i dăm lui k toate valorile de la 0 la 2^n-1, dar putem renunța la k=0 pentru că integrala din 0 este 0.
    [/tex]

    Pentru a ajunge la aceasta concluzie , acesta este rationametul ? ( k<=2^n x <k+1 ,avem ca x este din [0,1] … deci 2^n *0<=2^n*x<2^n+1) ,deci ar veni 0 …. 2^n+1 … daca puteti explica patitionarea as fi foarte recunoscator

    edit dupa 10 minunte de gandire… eu practic partitionez intervalul 2^n x cu ce am scris acolo plus ca trebuia sa mai scad 1 … practic trebuie inlocuit in ultima relatie in care este pus in evidenta doar x .

Raspunde

Raspunde