Fie f:[0,2]->R, f(x)=x-[x].Aratati ca f e integrabila si calculati 
Am incercat sa explicitez functia:
Apoi m-am gandit ca f e marginita si analizand functia, se obtine ca are un nr. finit de puncte de discontinuitate, deci conform teoremei lui Lebesgue e integrabila.Va rog sa imi spuneti daca pana aici exista greseli, deoarece chiar vreau sa inteleg acest tip de exercitiu.
In continuare, pentru a afla integrala, nu stiu exact daca sa folosesc Leibniz-Newton sau formula cu aditivitatea integralei(va rog mult sa imi explicati care si de ce, intrucat am lipsit mult de la scoala din cauza sanatatii si nu prea inteleg aceste exercitii
Multumesc mult!
Mai natural mi se pare sa aplici definitia integralei Riemann https://ro.wikipedia.org/wiki/Integral%C4%83_Riemann
Daca aplici definitia integralei Riemann pe [0,1], pt functia ta (care ia valoarea 0 in x=1), vor aparea urmatoarele situatii:
Pt ultimul termen ai doua cazuri, in cazul functiei de pozitia punctului intermediar din ultimul interval al diviziunii:
a) pt ultimul interval din dreapta alegi ca punct intermediar x=1, deci valoarea ultimului produs lungime interval* valoare functie=0.
b) punctului intermediar al ultimului interval este diferit de 1,valoarea ultimului produs va fi lungimea ultimei diviziuni inmultita cu ceva apropiat de 1.
Trecand la limita cand norma tinde la 0, cele doua sume Riemann, vor avea aceeasi valoare, deci conform definitiei integralei Rieman, cele doua siruri au aceeasi limita – pt orice diviziune si orice puncte intermediare, deci este integrabila.
Intervalul [0,2] se trsateaza similar.
Demonstrarea integrabilității invocând teorema lui Lebesgue este în regulă. Numai că nu știu dacă această teoremă este inclusă în programa oficială și, în plus, mai trebuie calculată și integrala.
.
În postarea sa RomeoB descrie o demonstrație a următoarei teoreme (oficială de data asta):
Dacă functța g este integrabilă pe un interval [a; b], iar funcția f diferă într-un punct (într-un număr finit de puncte) de funcția g, atunci și f este integrabilă pe [a; b] și cele două integrale sunt egale.
Conform acestei teoreme și explicitării făcute de tine, f ete integrabilă pe fiecare dintre intervalele [0; 1] și [1; 2] și
Sigur că pentru a finaliza vei folosi, așa cum zici, Leibniz-Newton și aditivitatea în raport cu intervalul.