Home/ Intrebari/Q 92868
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

pp
user (0)
Pe: 2018-10-13T15:55:06+03:00 In: In:

Legi de compozitie

Pe R se defineste legea de compozitie:
x\ast y=x+y-xy-ax-ay+a
cu a din R fixat.
Determinati a astfel incat [0,1] sa fie partea stabila a lui R in raport cu ,,\ast„.
Calculati: x\ast x\ast x\ast x\ast x

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Din 0\star 0\in [0;1]\Rightarrow a\in [0;1], deci această condiție este necesară pentru ca intervalul [0; 1]
    să fie parte stabilă a lui R. Să arătăm că a\in [0;1] este și condiție suficientă.
    x\star y=(1-x-y)a+x+y-xy=h_{(x,y)}(a),\;unde\;h_{(x,y)}:[0;1]\to \mathbb{R}
    este o funcție polinomială de grad cel mult 1 în raport cu a, adică o funcție ale cărei valori extreme sunt
    h_{(x,y)}(0)=x+y-xy,\;h_{(x,y)}(1)=1-xy. Dacă în condițiile în care x și y sunt din [0; 1], ambele valori extreme ale funcției h_{(x,y)} sunt în [0; 1], atunci toate valorile acestei funcții sunt din același interval, și asta trebuia demonstrat ca [0; 1] să fie parte stabilă.
    Ori inegalitățile 0\leq 1-(1-x)(1-y)\leq 1,\;0\leq 1-xy\leq 1 sunt evident adevărate pentru orice pereche de numere din [0; 1].
    A doua cerință pare mai ciudată dat fiind că legea de compoziție dată nu este asociativă (decât pentru a=0).
    Voi folosi notațiile x^{(2)}\;pentru\; x\star x\;si\;x^{(n+1)}\;pentru\;x^{(n)}\star x;\;\;f(x)=1-a-x
    Asta pentru că în condițiile unei legi neasociative, x\star x\star x\star x\star x nu poate să însemne decât
    (((x\star x)\star x)\star x)\star x, iar funcția f mai are și proprietatea f(f(t))=t pentru orice t real.
    Relația de definiție a legii de compoziție se mai poate structura așa:
    1-a-x\star y=(1-a-x)(1-a-y)-a^2\;sau\;f(x\star y)=f(x)f(y)-a^2.
    f(x^{(5)})=f(x^{(4)}\star x)=f(x^{(4)})f(x)-a^2=\\=f(x^{(3)}\star x)f(x)-a^2=(f(x^{(3)})f(x)-a^2)f(x)-a^2=\\=f(x^{(2)}\star x)f^2(x)-a^2f(x)-a^2=(f(x^{(2)})f(x)-a^2)f^2(x)-a^2f(x)-a^2=\\=f(x\star x)f^3(x)-a^2f^2(x)-a^2f(x)-a^2=(f^2(x)-a^2)f^3(x)-a^2f^2(x)-a^2f(x)-a^2=\\=f^5(x)-a^2f^3(x)-a^2f^2(x)-a^2f(x)-a^2.
    x^{(5)}=f(f^5(x)-a^2f^3(x)-a^2f^2(x)-a^2f(x)-a^2)=\\=1-a+a^2(1+f(x)+f^2(x)+f^3(x))-f^5(x).

  2. pp
    user (0)

    Când am studiat asociativitatea am ajuns la concluzia ca:
    a^2(x+y)=a^2(y+z)
    De aici ati ajuns la concluzia că a=0? Eu am tras concluzia(cel mai probabil absurdă) ca pt x=y legaea e asociativă.

  4. ghioknt
    profesor

    pp post_id=112262 time=1539535879 user_id=21305 wrote:
    Când am studiat asociativitatea am ajuns la concluzia ca:
    a^2(x+y)=a^2(y+z)
    De aici ati ajuns la concluzia că a=0? Eu am tras concluzia(cel mai probabil absurdă) ca pt x=y legaea e asociativă.


    Atenție, legea este asociativă dacă egalitatea ce definește asociativitatea are loc fără nicio restricție asupra variabilelor x, y, z. Faptul că pentru a nenul e nevoie de x=z arată exact faptul că legea e neasociativă.
    În cazul nostru, al puterilor unui același element, comutativitatea maschează neasociativitatea:
    (x\star x)\star x=x\star (x\star x) are totuși loc datorită comutativității, nu a asociativității.

Raspunde

Raspunde