POLINOAME

Question

Felixxveteran (III)

Pe: 5 septembrie 20182018-09-05T09:43:25+03:00 2018-09-05T09:43:25+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

POLINOAME

Impartind polinomul $X^{8}$ la $X-1$ se obtine catul $q_{1}$ si restul $r_{1}$ ,impartind polinomul $q_{1}$ la $X-1$ se obtine catul $q_{2}$ si restul $r_{2}$ ,iar continuand procedeul si definind recursiv polinoamele $q_{k+1}$ si restul $r_{k+1}$ ca fiind ,respectiv, catul si restul impartirii lui $q_{k}$ la $X-1$ ,pentru orice $k\in \left \{ 1,2,...,7 \right \}$ , sa se determine $r_{5}$ .
a) 1 b)2 c)7 d) 70 e)100 f) 700
………………………………………………………………………
$f\left ( x \right )=X^{8}=q_{1}\left ( x \right )\left ( X-1 \right )+r_{1}$
Apoi
$q_{k}=q_{k+1}\left ( X-1 \right )+r_{k+1}, \forall k\in \left \{ 1,2,...,7 \right \}$

Ptr. x=1 avem $1=r_{1}$ , apoi $q_{1}\left ( 1 \right )=r_{2}$ , $q_{2}\left ( 1 \right )=r_{3}$ , $q_{3}\left ( 1 \right )=r_{4}$ , $q_{4}\left ( 1 \right )=r_{5}$ , $q_{5}\left ( 1 \right )=r_{6}$ , $q_{6}\left ( 1 \right )=r_{7}$ , $q_{7}\left ( 1 \right )=r_{8}$

$q_{1}\left ( x \right )=\frac{X^{8}-r_{1}}{X-1}=\left ( X+1 \right )\left ( X^{2}+1 \right )\left ( X^{4}+1 \right )$ si $q_{1}\left ( 1 \right )=r_{2}=8$
Analog gasim $q_{2}\left ( x \right )=X^{6}+2X^{5}+3X^{4}+4X^{3}+5X^{2}+6X+7$ si $q_{2}\left ( 1 \right )=r_{3}=28$

$q_{3}\left ( x \right )=X^{5}+3X^{4}+6X^{3}+10X^{2}+15X+21$ si $q_{3}\left ( 1 \right )=r_{4}=56$

$q_{4}\left ( x \right )=X^{4}+4X^{3}+10X^{2}+20X+35$ si $q_{4}\left ( 1 \right )=r_{5}=70$ si raspunsul ar fi d)
…………………………………….
Daca continuam obtinem :
$q_{5}\left ( x \right )=X^{3}+5X^{2}+15X+35$ si $q_{5}\left ( 1 \right )=r_{6}=56=r_{4}$

$q_{6}\left ( x \right )=X^{2}+6X+21$ si $q_{6}\left ( 1 \right )=r_{7}=28=r_{3}$

$q_{7}\left ( x \right )=X+7$ si $q_{7}\left ( 1 \right )=r_{8}=8=r_{2}$

$q_{8}\left ( x \right )=1$
…………………………………
Metoda mi se pare cam „muncitoreasca”.Ma gandesc ca trebuie sa existe una mai simpla …mai ales ca observati resturile se repeta.Poate ma ajuta cineva cu o varianta mai usoara de rezolvare,pe care eu inca nu am descoperit-o.
Multumesc.

4 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

PhantomR · Answer 1 · 2018-09-05T17:50:17+03:00

Da, exista o metoda mai rapida care nu necesita impartirea efectiva.

Avem $f=q_1(X-1)+r_1$ , apoi $f=(q_2(X-1)+r_2)(X-1)+r_1=q_2(X-1)^2+r_2(X-1)+r_1$ .. observam de aici ca, continuand analog, obtinem:

$f=q_5(X-1)^5+r_5(X-1)^4+r_4(X-1)^3+r_3(X-1)^2+r_2(X-1)+r_1$ .

Vrem sa scapam de polinomul de langa $r_5$ ca sa putem pune $X=1$ .. ne gandim sa derivam de 4 ori.

Sa observam ca polinomul $P=q_5(X-1)^5$ are pe $1$ radacina de ordinul 5, deci $P^{IV}(1)=0$ (derivata de ordin 4 se anuleaza in $0$ ), deci daca derivam de $4$ ori si punem $X=1$ scapam si de polinomul $q_5$ . Derivand expresia $f=P+r_5(X-1)^4+..$ de 4 ori si observand ca $r_i$ sunt constante, obtinem $f^{IV}=P^{IV}+4!\cdot r_5$ . Punand $X=1$ , obtinem $r_5=\frac{f^{IV}(1)}{4!}=\frac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 1^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=7\cdot 2 \cdot 5 = 70$ .

ghioknt · Answer 2 · 2018-09-05T20:35:24+03:00

ghioknt profesor

2018-09-05T20:35:24+03:00A raspuns pe 5 septembrie 2018 la 8:35 PM

Poate mai elementar, dacă observăm că, pe de o parte
$X^8=r_1+r_2(X-1)+r_3(X-1)^2+...+r_8(X-1)^7+q_8(X-1)^8,$
iar pe de altă parte, $X^8=[1+(X-1)]^8=1+C_8^1(X-1)+... +C_8^8(X-1)^8$
deducem $r_k=C_8^{k-1},\;k\in {1,2,...,8},\;q_8=C_8^8$ , deci $r_5=C_8^4.$

0

Raspunde

Felixx · Answer 3 · 2018-09-06T08:20:29+03:00

Felixx veteran (III)

2018-09-06T08:20:29+03:00A raspuns pe 6 septembrie 2018 la 8:20 AM

Multumesc mult,domnilor ghioknt si PhamtomR.Doua solutii inedite.

0

Raspunde

Integrator · Answer 4 · 2018-09-12T04:14:50+03:00

Felixx post_id=112110 time=1536140605 user_id=21270 wrote:
Impartind polinomul $X^{8}$ la $X-1$ se obtine catul $q_{1}$ si restul $r_{1}$ ,impartind polinomul $q_{1}$ la $X-1$ se obtine catul $q_{2}$ si restul $r_{2}$ ,iar continuand procedeul si definind recursiv polinoamele $q_{k+1}$ si restul $r_{k+1}$ ca fiind ,respectiv, catul si restul impartirii lui $q_{k}$ la $X-1$ ,pentru orice $k\in \left \{ 1,2,...,7 \right \}$ , sa se determine $r_{5}$ .
a) 1 b)2 c)7 d) 70 e)100 f) 700
………………………………………………………………………
$f\left ( x \right )=X^{8}=q_{1}\left ( x \right )\left ( X-1 \right )+r_{1}$
Apoi
$q_{k}=q_{k+1}\left ( X-1 \right )+r_{k+1}, \forall k\in \left \{ 1,2,...,7 \right \}$

Ptr. x=1 avem $1=r_{1}$ , apoi $q_{1}\left ( 1 \right )=r_{2}$ , $q_{2}\left ( 1 \right )=r_{3}$ , $q_{3}\left ( 1 \right )=r_{4}$ , $q_{4}\left ( 1 \right )=r_{5}$ , $q_{5}\left ( 1 \right )=r_{6}$ , $q_{6}\left ( 1 \right )=r_{7}$ , $q_{7}\left ( 1 \right )=r_{8}$

$q_{1}\left ( x \right )=\frac{X^{8}-r_{1}}{X-1}=\left ( X+1 \right )\left ( X^{2}+1 \right )\left ( X^{4}+1 \right )$ si $q_{1}\left ( 1 \right )=r_{2}=8$
Analog gasim $q_{2}\left ( x \right )=X^{6}+2X^{5}+3X^{4}+4X^{3}+5X^{2}+6X+7$ si $q_{2}\left ( 1 \right )=r_{3}=28$

$q_{3}\left ( x \right )=X^{5}+3X^{4}+6X^{3}+10X^{2}+15X+21$ si $q_{3}\left ( 1 \right )=r_{4}=56$

$q_{4}\left ( x \right )=X^{4}+4X^{3}+10X^{2}+20X+35$ si $q_{4}\left ( 1 \right )=r_{5}=70$ si raspunsul ar fi d)
…………………………………….
Daca continuam obtinem :
$q_{5}\left ( x \right )=X^{3}+5X^{2}+15X+35$ si $q_{5}\left ( 1 \right )=r_{6}=56=r_{4}$

$q_{6}\left ( x \right )=X^{2}+6X+21$ si $q_{6}\left ( 1 \right )=r_{7}=28=r_{3}$

$q_{7}\left ( x \right )=X+7$ si $q_{7}\left ( 1 \right )=r_{8}=8=r_{2}$

$q_{8}\left ( x \right )=1$
…………………………………
Metoda mi se pare cam „muncitoreasca”.Ma gandesc ca trebuie sa existe una mai simpla …mai ales ca observati resturile se repeta.Poate ma ajuta cineva cu o varianta mai usoara de rezolvare,pe care eu inca nu am descoperit-o.
Multumesc.

Bună dimineața,

Notând $X-1=y$ , atunci restul căutat este egal cu restul $r_5$ în cazul în care este vorba despre polinomul $(y+1)^8=y^8+C^1_8y^7+C^2_8y^6+C^3_8y^5+C^4_8y^4+C^5_8y^3+C^6_8y^2+C^7_8y+1$ și monomul $y$ de unde se observă imediat că $r_1=1$ , $r_2=C^7_8$ , $r_3=C^6_8$ , $r_4=C^5_8$ , $r_5=C^4_8=70$ , $r_6=C^3_8$ , $r_7=C^2_8$ , $r_8=C^1_8$ , $r_9=0$ .

Numai bine,

Integrator

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

POLINOAME

Similare

4 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul