Home/ Intrebari/Q 92788
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Dan02
user (0)
Pe: 2018-07-11T13:00:02+03:00 In: In:

UTCN 348

\displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

Similare

6 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Dan02 post_id=111777 time=1531314002 user_id=22864 wrote:
    \displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

    Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

    Se ajunge simplu, dar ca să fie simplu trebuie mai întâi să simplificăm.
    x_n=\frac{1}{4^n}\cdot \frac{(4n)!}{(2n)!\cdot (2n)!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{(2n)!}=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)\cdot 2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)}=\\=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)\cdot 4n(4n-2)...(2n+2)}=\frac{(4n-1)(4n-3)...(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)}
    Acum să o aranjăm:
    L=\lim_{n\to\infty }\left ( 1-\frac{1}{4n} \right )\left ( 1-\frac{1}{4n-2} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )
    Iar acum să ne folosim și cunoștințele:
    \ln L=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\left ( -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\frac{k}{n}} \right )=\\=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}dx=\frac{1}{2}\ln (2-x)|_0^1=\ln\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )

    • 0
  2. Dan02
    user (0)

    ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683 wrote:
    [quote=Dan02 post_id=111777 time=1531314002 user_id=22864]
    \displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

    Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

    Se ajunge simplu, dar ca să fie simplu trebuie mai întâi să simplificăm.
    x_n=\frac{1}{4^n}\cdot \frac{(4n)!}{(2n)!\cdot (2n)!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{(2n)!}=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)\cdot 2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)}=\\=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)\cdot 4n(4n-2)...(2n+2)}=\frac{(4n-1)(4n-3)...(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)}
    Acum să o aranjăm:
    L=\lim_{n\to\infty }\left ( 1-\frac{1}{4n} \right )\left ( 1-\frac{1}{4n-2} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )
    Iar acum să ne folosim și cunoștințele:
    \ln L=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\left ( -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\frac{k}{n}} \right )=\\=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}dx=\frac{1}{2}\ln (2-x)|_0^1=\ln\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )

    Multumesc pentru raspuns! Am aflat ca se poate calcula mult mai simplu cu sirul lui Wallis.

    • 0
  4. Alex Stoica
    user (0)

    Dan02 post_id=111803 time=1531562785 user_id=22864 wrote:
    [quote=ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683]
    [quote=Dan02 post_id=111777 time=1531314002 user_id=22864]
    \displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

    Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

    Se ajunge simplu, dar ca să fie simplu trebuie mai întâi să simplificăm.
    x_n=\frac{1}{4^n}\cdot \frac{(4n)!}{(2n)!\cdot (2n)!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{(2n)!}=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)\cdot 2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)}=\\=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)\cdot 4n(4n-2)...(2n+2)}=\frac{(4n-1)(4n-3)...(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)}
    Acum să o aranjăm:
    L=\lim_{n\to\infty }\left ( 1-\frac{1}{4n} \right )\left ( 1-\frac{1}{4n-2} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )
    Iar acum să ne folosim și cunoștințele:
    \ln L=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\left ( -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\frac{k}{n}} \right )=\\=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}dx=\frac{1}{2}\ln (2-x)|_0^1=\ln\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )

    Multumesc pentru raspuns! Am aflat ca se poate calcula mult mai simplu cu sirul lui Wallis.

    imi poti explica si mie, te rog cum calculezi cu sirul lui Wallis?

    • 0
  5. PhantomR
    expert (VI)

    ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683 wrote:
    \lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )

    Mi se pare excelenta ideea de rezolvare, insa ati putea, va rog, sa postati si demonstratia pentru aceasta afirmatie? Presupun ca provine din limita \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1. E, oare, aceeasi proprietate despre care am mai discutat (si pentru care ati postat o demonstratie) intr-un alt subiect?

    • 0
  6. ghioknt
    profesor

    PhantomR post_id=111805 time=1531567232 user_id=15235 wrote:
    [quote=ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683]
    \lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )

    Mi se pare excelenta ideea de rezolvare, insa ati putea, va rog, sa postati si demonstratia pentru aceasta afirmatie? Presupun ca provine din limita \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1. E, oare, aceeasi proprietate despre care am mai discutat (si pentru care ati postat o demonstratie) intr-un alt subiect?

    Presupunere corectă. O schiță de demonstrație esye dată tot acolo de către gigelmarga:
    Dacă ceva din cele scrise acolo nu se potrivește aici, vă rog să semnalați concret.

    • 0
  8. PhantomR
    expert (VI)

    Va multumesc! Nu mai stiam care e subiectul.. nici nu observasem ca gigelmarga scrisese demonstratia.. am crezut ca dumneavoastra ati scris-o (aveati amandoi numele scrise cu roz 😀)

    • 0
Raspunde

Raspunde