Home/ Intrebari/Q 92788
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Dan02
Pe: 2018-07-11T13:00:02+03:00 In: In:

UTCN 348

\displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

Similare

6 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Dan02 post_id=111777 time=1531314002 user_id=22864 wrote:
    \displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

    Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

    Se ajunge simplu, dar ca să fie simplu trebuie mai întâi să simplificăm.
    x_n=\frac{1}{4^n}\cdot \frac{(4n)!}{(2n)!\cdot (2n)!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{(2n)!}=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)\cdot 2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)}=\\=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)\cdot 4n(4n-2)...(2n+2)}=\frac{(4n-1)(4n-3)...(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)}
    Acum să o aranjăm:
    L=\lim_{n\to\infty }\left ( 1-\frac{1}{4n} \right )\left ( 1-\frac{1}{4n-2} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )
    Iar acum să ne folosim și cunoștințele:
    \ln L=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\left ( -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\frac{k}{n}} \right )=\\=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}dx=\frac{1}{2}\ln (2-x)|_0^1=\ln\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )

  2. Dan02

    ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683 wrote:
    [quote=Dan02 post_id=111777 time=1531314002 user_id=22864]
    \displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

    Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

    Se ajunge simplu, dar ca să fie simplu trebuie mai întâi să simplificăm.
    x_n=\frac{1}{4^n}\cdot \frac{(4n)!}{(2n)!\cdot (2n)!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{(2n)!}=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)\cdot 2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)}=\\=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)\cdot 4n(4n-2)...(2n+2)}=\frac{(4n-1)(4n-3)...(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)}
    Acum să o aranjăm:
    L=\lim_{n\to\infty }\left ( 1-\frac{1}{4n} \right )\left ( 1-\frac{1}{4n-2} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )
    Iar acum să ne folosim și cunoștințele:
    \ln L=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\left ( -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\frac{k}{n}} \right )=\\=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}dx=\frac{1}{2}\ln (2-x)|_0^1=\ln\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )

    Multumesc pentru raspuns! Am aflat ca se poate calcula mult mai simplu cu sirul lui Wallis.

  4. Alex Stoica

    Dan02 post_id=111803 time=1531562785 user_id=22864 wrote:
    [quote=ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683]
    [quote=Dan02 post_id=111777 time=1531314002 user_id=22864]
    \displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \dfrac{C_{4n}^{2n}}{4^n C_{2n}^n} =?

    Raspunsul corect este \dfrac{1}{\sqrt 2} ,dar nu stiu cum se ajunge la el.

    Se ajunge simplu, dar ca să fie simplu trebuie mai întâi să simplificăm.
    x_n=\frac{1}{4^n}\cdot \frac{(4n)!}{(2n)!\cdot (2n)!}\cdot \frac{n!\cdot n!}{(2n)!}=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)\cdot 2^n\cdot 2n(2n-1)...(n+1)}=\\=\frac{4n(4n-1)...(2n+2)(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)\cdot 4n(4n-2)...(2n+2)}=\frac{(4n-1)(4n-3)...(2n+1)}{4n(4n-2)...(2n+2)}
    Acum să o aranjăm:
    L=\lim_{n\to\infty }\left ( 1-\frac{1}{4n} \right )\left ( 1-\frac{1}{4n-2} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2n+2} \right )=\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n-1}\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )
    Iar acum să ne folosim și cunoștințele:
    \ln L=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\left ( -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2-\frac{k}{n}} \right )=\\=\frac{-1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{2-x}dx=\frac{1}{2}\ln (2-x)|_0^1=\ln\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )

    Multumesc pentru raspuns! Am aflat ca se poate calcula mult mai simplu cu sirul lui Wallis.

    imi poti explica si mie, te rog cum calculezi cu sirul lui Wallis?

  5. PhantomR
    expert (VI)

    ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683 wrote:
    \lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )

    Mi se pare excelenta ideea de rezolvare, insa ati putea, va rog, sa postati si demonstratia pentru aceasta afirmatie? Presupun ca provine din limita \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1. E, oare, aceeasi proprietate despre care am mai discutat (si pentru care ati postat o demonstratie) intr-un alt subiect?

  6. ghioknt
    profesor

    PhantomR post_id=111805 time=1531567232 user_id=15235 wrote:
    [quote=ghioknt post_id=111797 time=1531518010 user_id=18683]
    \lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\ln\left ( 1-\frac{1}{4n-2k} \right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n-1}\left ( -\frac{1}{4n-2k} \right )

    Mi se pare excelenta ideea de rezolvare, insa ati putea, va rog, sa postati si demonstratia pentru aceasta afirmatie? Presupun ca provine din limita \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1. E, oare, aceeasi proprietate despre care am mai discutat (si pentru care ati postat o demonstratie) intr-un alt subiect?

    Presupunere corectă. O schiță de demonstrație esye dată tot acolo de către gigelmarga:
    Dacă ceva din cele scrise acolo nu se potrivește aici, vă rog să semnalați concret.

  8. PhantomR
    expert (VI)

    Va multumesc! Nu mai stiam care e subiectul.. nici nu observasem ca gigelmarga scrisese demonstratia.. am crezut ca dumneavoastra ati scris-o (aveati amandoi numele scrise cu roz 😀)

Raspunde

Raspunde