Home/ Intrebari/Q 92768
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Bjarn3
Pe: 2018-07-06T16:05:05+03:00 In: In:

integrala nr. irational

\text{Aratati ca valoarea integralei }\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1+x)^{2009}+(1-x)^{2009}}{1+x^2}dx \text{ este un numar irational .}

Similare

3 raspunsuri

  1. Bjarn3

    Sa nu care cumva sa ma ajutati si pe mine!

  2. ghioknt
    profesor

    Putem spune despre f(x)=(1+x)^{2009}+(1-x)^{2009},\;g(x)=x^2+1 că sunt funcții polinomiale cu coeficienți raționali. (De fapt sunt cu coeficienți întregi, dar acest fapt este nerelevant pentru problemă).
    Conform teoremei împărțirii cu rest, există funcțiile polinomiale q(x) și r(x)=ax+b, tot cu coeficienți raționali, a. î.
    f(x)=(x^2+1)q(x)+ax+b. Pentru x=i: ai+b=f(i)=(1+i)^{2009}+(1-i)^{2009} din care deducem a=0,
    căci suma dintre un număr complex și conjugatul său este număr real.
    \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x^2+1}dx=\int_{0}^{1}q(x)dx+\int_{0}^{1}\frac{b}{x^2+1}dx=A+\frac{b}{4}\pi
    Dacă admitem că se știe că \pi este irațional, atunci problema este rezolvată pentru că A și b/4 sunt numere raționale.

  4. Bjarn3

    ghioknt post_id=111722 time=1530987294 user_id=18683 wrote:
    Putem spune despre f(x)=(1+x)^{2009}+(1-x)^{2009},\;g(x)=x^2+1 că sunt funcții polinomiale cu coeficienți raționali. (De fapt sunt cu coeficienți întregi, dar acest fapt este nerelevant pentru problemă).
    Conform teoremei împărțirii cu rest, există funcțiile polinomiale q(x) și r(x)=ax+b, tot cu coeficienți raționali, a. î.
    f(x)=(x^2+1)q(x)+ax+b. Pentru x=i: ai+b=f(i)=(1+i)^{2009}+(1-i)^{2009} din care deducem a=0,
    căci suma dintre un număr complex și conjugatul său este număr real.
    \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x^2+1}dx=\int_{0}^{1}q(x)dx+\int_{0}^{1}\frac{b}{x^2+1}dx=A+\frac{b}{4}\pi
    Dacă admitem că se știe că \pi este irațional, atunci problema este rezolvată pentru că A și b/4 sunt numere raționale.

    Multam fain !

Raspunde

Raspunde