UTCN 1224

Question

RazvanInfouser (0)

Pe: 18 iunie 20182018-06-18T13:18:43+03:00 2018-06-18T13:18:43+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

UTCN 1224

Salut, ma puteti ajuta la problema numarul 1224…? Sunt probleme pe care la scoala nu le-am facut deloc….

Attached files

10 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Integrator · Answer 1 · 2018-06-19T04:18:13+03:00

RazvanInfo post_id=111638 time=1529327923 user_id=22707 wrote:
Salut, ma puteti ajuta la problema numarul 1224…? Sunt probleme pe care la scoala nu le-am facut deloc….

Buna dimineața,

O idee:
Faceți graficul funcției $f:[0,2] \rightarrow \mathbb R$ , $f(x)=\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}$ .Ce alură are graficul funcției $f(x)$ pentru $n\rightarrow \infty$ .Care este minimul funcției $f(x)$ si cât este $f(0)$ , $f(1)$ și $f(2)$ ?

Numai bine,

Integrator

RazvanInfo · Answer 2 · 2018-06-19T11:21:05+03:00

RazvanInfo user (0)

2018-06-19T11:21:05+03:00A raspuns pe 19 iunie 2018 la 11:21 AM

Hmm, aceasi abordare se aplica si la problema numarul 1220 ???

0

Raspunde

Integrator · Answer 3 · 2018-06-19T18:32:18+03:00

RazvanInfo post_id=111640 time=1529407265 user_id=22707 wrote:
Hmm, aceasi abordare se aplica si la problema numarul 1220 ???

Bună seara,

În general , da și o idee în plus:
Cât fac $|(\rm cosx-\rm sinx)^n|$ când $n\rightarrow \infty$ ?Cât fac $\int_0^1 f(x) dx$ unde $f(x)=0$ ?

Numai bine,

Integrator

ghioknt · Answer 4 · 2018-06-20T18:31:48+03:00

Cred că ești de acord că pe intervalul [0; 1] sunt adevărate inegalitățile: $0\leq x\leq 2-x$ . Consecințe:
$0\leq x^n\leq (2-x)^n\Rightarrow (2-x)^n\leq x^n+(2-x)^n\leq 2(2-x)^n\Rightarrow \\\Rightarrow 2-x\leq \sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}\leq \sqrt[n]{2}(2-x)\Rightarrow \int_{0}^{1}(2-x)dx\leq \int_{0}^{1}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \sqrt[n]{2}\int_{0}^{1}(2-x)dx \Rightarrow \\\Rightarrow \frac{3}{2}\leq \int_{0}^{1}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \frac{3}{2}\sqrt[n]{2}\;\;\;(1)$
Pe [1; 2] sunt adevărate inegalitățile: $0\leq 2-x\leq x$ . Parcurgând aceeași pași se ajunge la:
$\int_{1}^{2}xdx\leq \int_{1}^{2}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \sqrt[n]{2}\int_{1}^{2}xdx \;apoi\;\\ \frac{3}{2}\leq \int_{1}^{2}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \frac{3}{2}\sqrt[n]{2}\;\;\;(2)$ .
Adunând inegalitățile (1) si (2): $3\leq \int_{0}^{2}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq 3\sqrt[n]{2}$ .
Pentru că $\sqrt[n]{2}\to 1$ , înseamnă că limita cerută este 3.

Integrator · Answer 5 · 2018-06-21T06:15:26+03:00

ghioknt post_id=111649 time=1529519508 user_id=18683 wrote:
Cred că ești de acord că pe intervalul [0; 1] sunt adevărate inegalitățile: $0\leq x\leq 2-x$ . Consecințe:
$0\leq x^n\leq (2-x)^n\Rightarrow (2-x)^n\leq x^n+(2-x)^n\leq 2(2-x)^n\Rightarrow \\\Rightarrow 2-x\leq \sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}\leq \sqrt[n]{2}(2-x)\Rightarrow \int_{0}^{1}(2-x)dx\leq \int_{0}^{1}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \sqrt[n]{2}\int_{0}^{1}(2-x)dx \Rightarrow \\\Rightarrow \frac{3}{2}\leq \int_{0}^{1}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \frac{3}{2}\sqrt[n]{2}\;\;\;(1)$
Pe [1; 2] sunt adevărate inegalitățile: $0\leq 2-x\leq x$ . Parcurgând aceeași pași se ajunge la:
$\int_{1}^{2}xdx\leq \int_{1}^{2}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \sqrt[n]{2}\int_{1}^{2}xdx \;apoi\;\\ \frac{3}{2}\leq \int_{1}^{2}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq \frac{3}{2}\sqrt[n]{2}\;\;\;(2)$ .
Adunând inegalitățile (1) si (2): $3\leq \int_{0}^{2}\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}dx\leq 3\sqrt[n]{2}$ .
Pentru că $\sqrt[n]{2}\to 1$ , înseamnă că limita cerută este 3.

Buna dimineața,

Elegantă rezolvare!
––––––––––––––––––––
Ideea dată de mine nu este bună?
Dacă facem graficul funcției $f:[0,2] \rightarrow \mathbb R$ , $f(x)=\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}$ vom observa că pentru $n\rightarrow \infty$ graficul acestei funcții are alura a două drepte perpendiculare care se intersectează în punctul de coordonate $(1,1)$ și aceste drepte formează cu axele de coordonate și dreapta $x=2$ două trapeze congruente având bazele egale cu $1$ respectiv $2$ și înălțimea egală cu $1$ și deci limita acelei integrale va fi suma ariilor acestor trapeze congruente și anume $3$ .

Cu stimă,

Integrator

Integrator · Answer 6 · 2018-06-22T03:56:55+03:00

RazvanInfo post_id=111638 time=1529327923 user_id=22707 wrote:
Salut, ma puteti ajuta la problema numarul 1224…? Sunt probleme pe care la scoala nu le-am facut deloc….

Bună dimineața,

Voi face o rectificare deoarece nu am observat că există un $n$ în fața integralei și anume:
În acest caz trebuie analizată această limită pe intervalele $(0,\frac{\pi}{4})$ și respectiv $(\frac{\pi}{4},1)$ și aplicată metoda dată de Domnul Profesor „ghioknt”.Mii de scuze!

Numai bine,

Integrator

PhantomR · Answer 7 · 2018-06-23T00:43:47+03:00

Integrator post_id=111654 time=1529639815 user_id=14570 wrote:
Voi face o rectificare deoarece nu am observat că există un $n$ în fața integralei și anume:

Sunteti sigur ca e vorba de aceeasi problema? Nu pare sa aiba $n$ in fata integralei.

Integrator · Answer 8 · 2018-06-23T04:03:10+03:00

PhantomR post_id=111658 time=1529714627 user_id=15235 wrote:
[quote=Integrator post_id=111654 time=1529639815 user_id=14570]
Voi face o rectificare deoarece nu am observat că există un $n$ în fața integralei și anume:

Sunteti sigur ca e vorba de aceeasi problema? Nu pare sa aiba $n$ in fata integralei.

Bună dimineața,

Aveți dreptate!Am greșit poziționarea mesajului meu!Mesajul meu „Voi face o rectificare deoarece nu am observat că există un $n$ în fața integralei și anume:
În acest caz trebuie analizată această limită pe intervalele $(0,\frac{\pi}{4})$ și respectiv $(\frac{\pi}{4},1)$ și aplicată metoda dată de Domnul Profesor „ghioknt”.Mii de scuze!” trebuia să fie un răspuns la mesajul următor:
„Re: UTCN 1224
Mesaj de RazvanInfo » Mar Iun 19, 2018 2:21 pm

Hmm, aceasi abordare se aplica si la problema numarul 1220 ???” ––––––––––––
Deci acel mesaj se referea la problema „UTCN 1220”.Mulțumesc mult pentru observație!

Toate cele bune,

Integrator

Integrator · Answer 9 · 2018-06-23T04:17:07+03:00

RazvanInfo post_id=111640 time=1529407265 user_id=22707 wrote:
Hmm, aceasi abordare se aplica si la problema numarul 1220 ???

Bună dimineața,

Voi face o rectificare deoarece nu am observat că există un $n$ în fața integralei și anume:
În acest caz trebuie analizată această limită pe intervalele $(0,\frac{\pi}{4})$ și respectiv $(\frac{\pi}{4},1)$ și aplicată metoda dată de Domnul Profesor „ghioknt”.Mii de scuze!
––––––––––––––––––––––––-
Mesajul meu anterior și anume:
„Re: UTCN 1224
Mesaj de Integrator » Vin Iun 22, 2018 6:56 am

RazvanInfo scrie: ↑Lun Iun 18, 2018 4:18 pm
Salut, ma puteti ajuta la problema numarul 1224…? Sunt probleme pe care la scoala nu le-am facut deloc….
Bună dimineața,

Voi face o rectificare deoarece nu am observat că există un în fața integralei și anume:
În acest caz trebuie analizată această limită pe intervalele și respectiv și aplicată metoda dată de Domnul Profesor „ghioknt”.Mii de scuze!

Numai bine,

Integrator” nu va mai fi luat în considerare , deoarece pare a se referi la problema „UTCN 1224” când de fapt trebuia să specific că se referă la problema „UTCN 1220”!Mii de scuze!

Numai bine,

Integrator

ghioknt · Answer 10 · 2018-06-23T09:43:29+03:00

Integrator post_id=111651 time=1529561726 user_id=14570 wrote:

Ideea dată de mine nu este bună?
Dacă facem graficul funcției $f:[0,2] \rightarrow \mathbb R$ , $f(x)=\sqrt[n]{x^n+(2-x)^n}$ vom observa că pentru $n\rightarrow \infty$ graficul acestei funcții are alura a două drepte perpendiculare care se intersectează în punctul de coordonate $(1,1)$ și aceste drepte formează cu axele de coordonate și dreapta $x=2$ două trapeze congruente având bazele egale cu $1$ respectiv $2$ și înălțimea egală cu $1$ și deci limita acelei integrale va fi suma ariilor acestor trapeze congruente și anume $3$ .

În condițiile unui examen cu multe probleme cu răspunsuri la alegere, metoda este foarte practică. Se observă că graficele funcțiilor $f_n$ au trei puncte fixe (care nu depind de n), A(0,2), B(1,1), C(2,2) si că, la limită, acele grafice se așează peste segmentele [AB], [BC]. De unde, răspunsul 3.
Altfel spus, aici funcționează și intuiția candidatului care ar conta pe $\lim_{n\to\infty }\int_{a}^{b}f_n(x)dx=\int_{a}^{b}(\lim_{n\to\infty }f_n(x))dx$
Cum, pentru $x\in(0;1):\;\lim_{n\to\infty }f_n(x)=(2-x)\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left ( \frac{x}{2-x} \right )^n+1}=2-x$ ,
iar pentru $x\in(1;2):\;\lim_{n\to\infty }f_n(x)=x\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left ( \frac{2-x}{x} \right )^n+1}=x$ ,
egalitatea de mai sus devine $\lim_{n\to\infty }\int_{0}^{2}f_n(x)dx=\int_0^1(2-x)dx+\int_1^2xdx=3$ .
Dar egalitatea respectivă nu funcționează la 1220, de exemplu. Aici, chiar dacă pentru x>0: $n(\cos x-\sin x)^n\to 0$ ,
pentru x=0 limita respectiva este oo. Dar chiar dacă și în 0 limita respectivă ar fi finită, deci integrala limitei ar fi 0, tot nu am putea fi siguri că și limita șirului de integrale ar fi tot 0. Pentru 1220 se poate aplica procedeul utilizat aici

Dacă nu este clar cum, voi reveni.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

UTCN 1224

Similare

10 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul