Fie un grup si
astfel incat
pentru orice .Care din urmatoarele afirmatii este adevarata ?
a) f nu este injectiva b)f nu este bijectiva c)f este surjectiva d)
e) f)
………………………………………………………………………………………………………………………
Am incercat urmatoarea rezolvare:
Cum relatia din enunt este adevarata si cum
este grup ,inseamna ca admite
element neutru e(care la operatia de inmultire ar fi 1).
Atunci luam si rezulta ca
si relatia din enunt devine :
unde tinand cont de
obtinem
Rezulta din aceasta relatie ca f ar fi surjectiva? Atunci raspunsul ar fi c)
Cum am putea sa eliminam raspunsurile a) si b) ( probabil alegand multimea G de o anumita forma, de exemplu ).
Cum pot sa arat ca in cazurile de la d) ,e) si f) functia f nu ar fi bine definita?
Da, rezulta ca e surjectiva. Pentru orice
punem
in relatia pe care ati obtinut-o si vom obtine ca exista punctul
pentru care
.
Tot din acea relatie pe care ati obitnut-o rezulta si injectivitatea. Fie
cu
de unde, amplificand la dreapta cu
obtinem
.
Deci
e bijectiva.
Daca punem
in relatia de definitie, rezulta
, iar din injectivitate rezulta acum
[deci, doar injectivitatea era destula ca sa ajungem aici..).
Intorcandu-ne la ecuatia initiala obtinem
, de unde
sau
(*).
rezulta ca
. Inlocuind in
, obtinem ca trebuie ca
.. Daca
, toate functiile sunt bune.. altfel, doar ultima poate fi buna… DAR pentru ca exista grupuri pentru care are loc (*) [orice grup comutativ verifica (*)] cu mai mult de un element si pentru care nu toate elementele ridicate la patrat dau elementul neutru (de exemplu, grupul
, inseamna ca doar c) tine in general.
––
Deci varianta c) sigur e buna. Inlocuind in d) si e) faptul ca
NOTE:
Functiile din d) si e) nu sunt corect definite decat pentru grupul cu un singur element. Intr-adevar, luand
in d),e) rezulta
, iar inlocuind in relatia initiala se obtine pt d) si e) ca
.
Facand aceeasi miscare si la f) obtinem
.. Aceasta e o relatie celebra din manual de la care se poate arata ca grupul e comutativ. Reciproca nu e adevarata.
Multumesc mult ,domnule PhantomR.