Home/ Intrebari/Q 92728
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2018-06-03T09:35:06+03:00 In: In:

GRUP

Fie \left ( G,\cdot \right ) un grup si f:G\rightarrow G astfel incat
yf\left ( x^{2} \right )=f\left ( y^{-1}xyf\left ( xy \right ) \right )
pentru orice x,y\in G.Care din urmatoarele afirmatii este adevarata ?
a) f nu este injectiva b)f nu este bijectiva c)f este surjectiva d)f(xy)=xy^{2},\forall x,y\in G

e) f(xy)=y^{2}x,\forall x,y\in G f) f(xy)=y^{-1}x,\forall x,y\in G
………………………………………………………………………………………………………………………
Am incercat urmatoarea rezolvare:
Cum relatia din enunt este adevarata \forall x,y\in G si cum \left ( G,\cdot \right ) este grup ,inseamna ca admite
element neutru e(care la operatia de inmultire ar fi 1).
Atunci luam x=e si rezulta ca f\left ( e^{2} \right )=e
si relatia din enunt devine :
y\cdot f\left ( y^{-1}\cdot e\cdot y\cdot f\left ( e\cdot y \right ) \right )=f\left ( f\left ( y \right ) \right )unde tinand cont de

y^{-1}\cdot e=y^{-1},y^{-1}\cdot y=e,e\cdot y=y,ef\left ( y \right )=f\left ( y \right ) obtinem

y\cdot f\left ( e \right )=f\left ( f\left ( y \right ) \right )
Rezulta din aceasta relatie ca f ar fi surjectiva? Atunci raspunsul ar fi c)

Cum am putea sa eliminam raspunsurile a) si b) ( probabil alegand multimea G de o anumita forma, de exemplu G=\left \{ e \right \} ).
Cum pot sa arat ca in cazurile de la d) ,e) si f) functia f nu ar fi bine definita?

Similare

2 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Da, rezulta ca e surjectiva. Pentru orice z\in G punem y=z[f(e)]^{-1} in relatia pe care ati obtinut-o si vom obtine ca exista punctul a=f(z[f(e)]^{-1}) pentru care f(a)=z.

    Tot din acea relatie pe care ati obitnut-o rezulta si injectivitatea. Fie a,b cu f(a)=f(b) \Rightarrow f(f(a))=f(f(b)) \Rightarrow af(e)=bf(e) de unde, amplificand la dreapta cu [f(e)]^{-1} obtinem a=b.

    Deci f e bijectiva.

    Daca punem y=e in relatia de definitie, rezulta f(x^2)=f(xf(x)), iar din injectivitate rezulta acum x^2=xf(x) \Rightarrow f(x)=x [deci, doar injectivitatea era destula ca sa ajungem aici..).

    Intorcandu-ne la ecuatia initiala obtinem yx^2=y^{-1}xyxy, de unde y^2x^2=xyxy sau y^2x^2=(xy)^2 (*).
    ––
    Deci varianta c) sigur e buna. Inlocuind in d) si e) faptul ca f(x)=x,\forall x rezulta ca G=\{e\}. Inlocuind in f), obtinem ca trebuie ca y^2=e,\forall y.. Daca G=\{e\}, toate functiile sunt bune.. altfel, doar ultima poate fi buna… DAR pentru ca exista grupuri pentru care are loc (*) [orice grup comutativ verifica (*)] cu mai mult de un element si pentru care nu toate elementele ridicate la patrat dau elementul neutru (de exemplu, grupul (R^{*}, \cdot )), inseamna ca doar c) tine in general.

    NOTE:
    \bullet Functiile din d) si e) nu sunt corect definite decat pentru grupul cu un singur element. Intr-adevar, luand y=e in d),e) rezulta f(x)=x,\forall x, iar inlocuind in relatia initiala se obtine pt d) si e) ca y=e,\forall y.
    \bullet Facand aceeasi miscare si la f) obtinem y^2=e,\forall y.. Aceasta e o relatie celebra din manual de la care se poate arata ca grupul e comutativ. Reciproca nu e adevarata.

    • 0
  2. Felixx
    veteran (III)

    Multumesc mult ,domnule PhantomR.

    • 0
Raspunde

Raspunde