Home/ Intrebari/Q 92722
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Alex Stoica
Pe: 2018-05-30T13:36:35+03:00 In: In:

UTCN 692

Cine m-ar putea ajuta la exercitiul 692.Nu prea reusesc sa inteleg exercitiile de genul.

https://imgur.com/a/8FouEEJ
Va multumesc.

Similare

1 raspuns

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Dam factor comun fortat \sqrt n si avem \lim a_n = n\sqrt n \sqrt n(\sqrt{1+\frac{1}{n}} - a + \sqrt{1-\frac{1}{n}}) = \infty(1-a+1)=(2-a)\infty.
    Deci e obligatoriu ca a=2 pentru ca a_n sa aiba macar o sansa sa fie convergent. Sa vedem daca chiar e (bine.. sigur e, avand in vedere variantele de raspuns) si cat ar fi atunci limita sa.

    Avem \lim a_n = \lim n \sqrt n(\sqrt{n+1}-2\sqrt n + \sqrt{n-1}) = \lim n\sqrt n(\sqrt {n+1} - \sqrt n - (\sqrt n - \sqrt{n-1})) =
    \lim n \sqrt n ( \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} - \frac{1}{\sqrt n + \sqrt{n-1}})= \lim n \sqrt n \frac{\sqrt{n-1} - \sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})}=
    -2\lim n\sqrt n \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt n)(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})} . Ca sa finalizam, scoatem factor comun fortat \sqrt n in fiecare paranteza (asta o sa ne scape de n\sqrt n, iar ce ramane in loc de fiecare paranteza va avea limita 2):

    \lim a_n = -2 \lim \frac{n\sqrt n}{\sqrt n\cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)\cdot \sqrt n \cdot (1 + \sqrt{1-\frac{1}{n}})\cdot \sqrt n\cdot (\sqrt{1-\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}})}=
    -2 \lim \frac{1}{(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)(1 + \sqrt{1-\frac{1}{n}})(\sqrt{1-\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}})} = -2 \frac{1}{2\cdot 2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}.

    Mi-ar placea sa vad o metoda mai scurta de a calcula aceasta limita.. are cineva alta idee 😀?

Raspunde

Raspunde