Home/ Intrebari/Q 92714
Urmator
In Process
jklR7
user (0)
Pe: 2018-05-28T09:02:07+03:00 In: In:

503 UTCN2018

Mă puteți ajuta?
\lim_{n\rightarrow \infty }n\int_{-1}^{0}(x+e^{x})^{n}dx

Similare

5 raspunsuri

  1. profesor

    Aplicând teorema de medie putem scrie \int_{-1}^{0}\left ( f(x) \right )^ndx=\left ( f(c_n) \right )^n
    Pentru că f este strict crescătoare și c_n\in (-1; 0) putem fi siguri că f(-1)<f(c_n)<f(0),
    deci f(c_n)\in (-1; 1). Evident, limita va fi 0.

    • 0
  2. veteran (III)

    Domnule profesor,ma scuzati ca intervin,dar cred ca s-a strecurat o greseala.In fata integralei mai avem un „n” ,atunci limita nu ar fi de forma
    \infty \cdot 0,deci avem caz de nedeterminare? Daca gresesc eu, va rog sa ma corectati!
    Eu cred ca limita este \frac{1}{2}.
    Va multumesc.

    • 0
  4. profesor

    Felixx post_id=111479 time=1527517270 user_id=21270 wrote:
    Domnule profesor,ma scuzati ca intervin,dar cred ca s-a strecurat o greseala.In fata integralei mai avem un „n” ,atunci limita nu ar fi de forma
    \infty \cdot 0,deci avem caz de nedeterminare? Daca gresesc eu, va rog sa ma corectati!
    Eu cred ca limita este \frac{1}{2}.
    Va multumesc.

    Este foarte posibil sa ai dreptate. Greseala mea nu consta in faptul ca l-am uitat pe n, ci ca asupra acelui c_n
    dat de teorema mediei nu am niciun control. Daca sirul (c_n) ar fi marginit superior de un c<0, atunci am avea si f(c_n)\leq f(c)<1,\;n(f(c_n))^n\to 0.
    Daca insa c_n\to 0,\;atunci\;f(c_n)\to 0, si avem o ditamai nedeterminarea. Trebuie deci gasit altceva.

    • 0
  5. profesor

    Corectez ultimul rând al postării precedente.
    Dacă însă c_n\to 0,\;atunci\;f(c_n)\to 1, și avem o ditamai nedeterminarea. Trebuie deci găsit altceva.
    (Nu înțeleg de ce ni s-a luat posibilitatea de a ne corecta propriile postări!)

    Fie c<0, apropriat de 0, astfel ca f(x)=x+e^x>0 pe [c; 0]. Avem n\int_{-1}^{0}f^n=n\int_{-1}^{c}f^n+n\int_{c}^{0}f^n.
    Prima integrală are limita 0 pentru că acum acel c_n este sub control, toți termenii fiind <c, f(c_n)
    nu mai are cum să tindă la 1. Să vedem ce se întâmplă cu cealaltă integrală.
    \frac{1}{f'(0)}\leq \frac{1}{f'(x)}\leq \frac{1}{f'(c)}\Rightarrow \frac{n}{f'(0)}\int_{c}^{0}f^n\cdot f'<n\int_{c}^{0}f^n<\frac{n}{f'(c)}\int_{c}^{0}f^n\cdot f'\Rightarrow \\\Rightarrow\frac{n}{f'(0)(n+1)}(f^{n+1}(0)-f^{n+1}(c))<n\int_{c}^{0}f^n< \frac{n}{f'(c)(n+1)}(f^{n+1}(0)-f^{n+1}(c))\Rightarrow \\\Rightarrow \frac{1}{f'(0)}\leq \lim_{n\to\infty }n\int_{c}^{0}f^n\leq \frac{1}{f'(c)}.
    Dar pe masură ce intervalul (c; 0) se micșorează, distanța dintre \frac{1}{f'(c)},\;\frac{1}{f'(0)} tinde la 0, deci
    limita cerută este \frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}.

    • 0
  6. profesor

    M[ simt dator cu încă o completare. Am afirmat aici că
    \lim_{n\to \infty }n\int_{-1}^{0}(x+e^x)^ndx \;si\;\lim_{n\to \infty }n\int_{0}^{1}x^{2n}\sin \frac{\pi x}{2}dx
    sunt asemănătoare. Hai să vedem cât de asemănătoare.
    Să facem în prima integrală schimbarea de variabilă t=f(x)=x+e^x;\;f(-1)=a=-1+e^{-1}>-1\;si\;f(0)=1 sunt
    valorile extreme ale acestei funcții strict crescătoare. Pot scrie deci x=f^{-1}(t),\;dx=(f^{-1})'(t)dt.
    n\int_{-1}^{0}(x+e^x)^ndx=n\int_{a}^{1}t^n(f^{-1})'(t)dt. Cred că acum se vede cât sunt de asemănătoare.
    Acum se poate arăta că n\int_{a}^{0}x^ng(x)dx are limita 0 (cu metoda din prima postare), iar
    n\int_{0}^{1}x^ng(x)dx are limita g(1), în condiții destul de comune pentru g, cu metoda din postarea citată la început.
    În cazul nostru g(1)=(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(f^{-1}(1)}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}.

    • 0
Raspunde

Raspunde