Home/ Intrebari/Q 92705
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

jklR7
Pe: 2018-05-22T17:17:50+03:00 In: In:

507 UTCN2018

Mă puteți ajuta în calculul acestei limite?
\lim_{n \to \infty }\int_{0}^{n}\frac{dx}{1+n^{2}\cos^{2}x }

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Funcțiile f_n de sub integrală sunt periodice de perioadă pi. Consecință: \int_{0}^{k\pi }f_n(x)dx=k\int_{0}^{\pi }f_n(x)dx.
    Ținând cont că ele sunt și pozitive, inegalitățile generale x-1<[x]\leq x<[x]+1\leq x+1 furnizează
    pentru I_n=\int_{0}^{\frac{n}{\pi}\cdot \pi }f_n(x)dx inegalitățile
    (\frac{n}{\pi }-1)\int_{0}^{\pi }f_n<\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\int_{0}^{\pi }f_n=\int_{0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi }f_n\leq I_n<\int_{0}^{(\left [ \frac{n}{\pi } \right ]+1)\pi }f_n=(\left [ \frac{n}{\pi } \right ]+1)\int_{0}^{\pi }f_n<(\frac{n}{\pi }+1)\int_{0}^{\pi }f_n.
    Voi calcula \int_{0}^{\pi }f_n prin cea mai banală metodă, cu ajutorul unei primitive. Atâta vreme cât mă feresc de vreun \frac{\pi}{2}+m\pi pot scrie
    \int f_n(x)dx=\int \frac{1}{n^2+1+tg^2x}\cdot (tgx)'dx=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}}+C.
    Avem expresia unei primitive valabile pe oricare dintre intervalele (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}),\;(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}) etc.
    O primitivă pe intervalul (-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}) poate fi de forma
    H_n(x)=\begin {cases}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}},\;x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})\\H_n(\frac{\pi }{2}),\;x=\frac{\pi }{2}\\c+ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}},\;x\in (\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})\end{cases}
    unde, pentru continuitate, trebuie să avem H_n(\frac{\pi }{2}+0)=H_n(\frac{\pi }{2})=H_n(\frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi}{2\sqrt{n^2+1}},
    de unde c=\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}}. Așadar \int_{0}^{\pi }f_n=H_n(\pi)-H_n(0)=\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}}.
    Din (\frac{n}{\pi }-1)\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}}<I_n<(\frac{n}{\pi }+1)\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}} iese că limita cerută este 1.
    Asta a fost pe scurt. Pentru alte detalii aștept întrebări.

  2. ghioknt
    profesor

    Integrala \int_{0}^{\pi }f_n poate fi calculată și fără construirea primitivei H_n astfel:
    \int_{0}^{\pi }f_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }f_n+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi }f_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}}|_0^{\frac{\pi}{2}-0}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}}|_{\frac{\pi}{2}+0}^{\pi}=\\=(\frac{\pi}{2\sqrt{n^2+1}}-0)+(0-\frac{-\pi}{2\sqrt{n^2+1}}=\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}}.
    Această manieră este mai potrivită la un examen cu timp limitat pentru aflarea răspunsurilor corecte.

  4. jklR7

    ghioknt post_id=111465 time=1527357679 user_id=18683 wrote:
    Integrala \int_{0}^{\pi }f_n poate fi calculată și fără construirea primitivei H_n astfel:
    \int_{0}^{\pi }f_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }f_n+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi }f_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}}|_0^{\frac{\pi}{2}-0}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}}|_{\frac{\pi}{2}+0}^{\pi}=\\=(\frac{\pi}{2\sqrt{n^2+1}}-0)+(0-\frac{-\pi}{2\sqrt{n^2+1}}=\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}}.
    Această manieră este mai potrivită la un examen cu timp limitat pentru aflarea răspunsurilor corecte.

    Vă mulțumesc mult!

Raspunde

Raspunde