Home/ Intrebari/Q 92686
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Alex Stoica
user (0)
Pe: 2018-05-09T16:35:12+03:00 In: In:

UTCN

1. lim_{n\rightarrow + infinit} [n-\sum_{k=1}^n e^(k/n^2)]

as putea aplica criteriul raportului sa vad spre cine tinde suma, iar apoi sa ajung intr-un caz de nedeterminare?

Raspunsul este -1/2.

2.Se considera polinomul P(x)=(x^2+x+1)^ 100 =a_{0}+a_{1}*x+....+a_{200}*x^200.

Valoarea lui a_{1} este:

a)100 , b)200 , c)199 , d)1 , e)0

Suma \sum_{k=1}^{200}1/(1+x_{k}) este:

a)100 b)200 c)-100 d)0 e)1

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Va rog sa dati ‘Preview’ inainte de a posta ca sa verificati daca ce postati arata cum trebuie. Cand aveti de scris puteri mai lungi de un ‘caracter’ (cifra, litera etc.) , ele trebuiesc incluse intre acolade, altfel doar primul caracter va fi pus la putere: ‘baza ^ {exponent}’ in loc de ‘baza ^ exponent’. Vedeti aici o diferenta (citati postarea mea ca sa vedeti codul):
    x^20 versus x^{20}.

    In alta ordine de idei, un punct de pornire pentru suma de la 1 este faptul ca avem suma unei progresii geometrice: \sum_{k=1}^n (e^{\frac{1}{n^2}})^k

    • 0
  2. ghioknt
    profesor

    \lim_{n\to \infty }\left ( n-\sum_{k=1}^{n}e^{\frac{k}{n^2}} \right )=\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( 1-e^{\frac{k}{n^2}} \right )
    Eu am idei puține, da’ fixe, așa că mai recomand o dată procedeul dezbătut aici:

    1. funcțiile f,g:(0;\infty )\to \mathbb{R},\;f(x)=e^x-1,\;g(x)=x\;satisfac\;g(x)>0,\;\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1
    2. numerele \frac{k}{n^2}\;satisfac\;0<\frac{k}{n^2}\leq \frac{n}{n^2}\;\forall k\leq n,\;\lim_{n\to \infty }\frac{n}{n^2}=0
    3. \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}g(\frac{k}{n^2})=\lim_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}
    Atunci limita cerută este -1/2.

    • 0
  4. ghioknt
    profesor

    Problema 2. a).
    Metoda 1. P(x)=[1+x(1+x)]^{100}=1+C_{100}^1x(1+x)+C_{100}^2x^2(1+x)^2+...
    Este evident că singurul termen care conține pe x la puterea întâia este C_{100}^1x, deci a_1=100.
    Metoda 2. Pe de o parte P'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+..., deci P'(0)=a_1.
    Pe de altă parte P'(x)=100(x^2+x+1)^{99}(2x+1}, deci P'(0)=100.

    Problema 2. b).
    Metoda 1. La examen, este bine să știi că ecuația x^2+x+1=0 are rădăcinile complexe \varepsilon \;si\;\varepsilon ^2 și că
    relația \varepsilon^2+\varepsilon+1=0 are consecințele 1+\varepsilon=-\varepsilon^2,\;1+\varepsilon^2=-\varepsilon,\;\varepsilon^2+\varepsilon=-1,\;\varepsilon^3=1.
    Dintre cele 200 de rădăcini ale polinomului P, 100 sunt egale cu \varepsilon, iar celelalte 100 cu \varepsilon^2. așa că suma se reduce la
    100\left ( \frac{1}{1+\varepsilon }+\frac{1}{1+\varepsilon ^2} \right )=-100\left ( \frac{1}{\varepsilon ^2}+\frac{1}{\varepsilon } \right )=-100(\varepsilon +\varepsilon ^2)=-100(-1)=100
    Metoda 2. Dacă știi că pentru orice polinom P de gradul n este adevărat că \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-x_k}=\frac{P'(x)}{P(x)}
    atunci suma noastră este -\sum_{k=1}^{200}\frac{1}{-1-x_k}=-\frac{P'(-1)}{P(-1)}=-\frac{100\cdot 1^{99}\cdot (-1)}{1^{100}}=100.

    • 0
Raspunde

Raspunde