Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie: x*y = xy + ax + by , x,y , unde a,b sunt constante reale.
978. Numarul perechilor (a,b) pentru care este grup, este:
a) 0 , b:1 c:2 d:3 e:alt raspuns;
780.Numarul perechilor (a,b) pentru care intervalul [0,2] este parte stabila la legea „*” este :
a:0 , b:1 , c:2 , d:4 , e:infinit
La 980 am scris ca si
, respectiv
si
le-am inmultit si am adunat ax+by si am ajuns la relatia :
. Si de aici nu mai stiu ce as putea face.
978. Asociativitate:
De aici, o varianta de a continua este:
Punand
Luand, analog,
Observam ca cele trei conditii:
sunt suficiente pentru a asigura ca egalitatea (*) are loc pentru orice
.
Asadar, exista doua perechi pentru care legea e asociativa:
.
avem chiar inmultirea obisnuita pe
care nu duce la un grup pentru ca
e neinversabil.
,
.. conditia pentru element neutru e echivalenta cu
. Conditia pentru element simetric se scrie
, de unde observam ca
e neinversabil.
Pentru
Pentru
Asadar, nu exista nicio pereche
pentru care avem grup.
980. Pentru fiecare
consideram
. Trebuie sa impunem conditia ca
.
Din
. Din
. Observam acum ca
si, in plus, ca
e acum crescatoare (suma de functii crescatoare), astfel ca mai trebuie doar sa impunem conditia
.
Aceasta se scrie ca
sau
.
si orice
sunt solutii, deci raspunsul este o infinitate.
Problema se poate finaliza aici observand ca
Totusi, pentru a gasi toate perechile, membrul stang e o functie de grad 1 in
:
, deci monotona si cum
, imaginea functiei e cuprinsa intre
si
. Deci pentru ca inegalitatea sa aiba loc pentru orice
e destul sa aiba loc pentru
si
. Inegalitate pentru
duce la
, iar pentru
la
sau
. Intersectand cele patru conditii:
obtinem ca orice numere
cu
si
verifica.