UTCN 978 SI 980

Question

Alex Stoica

Pe: 2 mai 20182018-05-02T16:01:16+03:00 2018-05-02T16:01:16+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

UTCN 978 SI 980

Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie: x*y = xy + ax + by , x,y $\epsilon \mathbb{R}$ , unde a,b sunt constante reale.

978. Numarul perechilor (a,b) pentru care $(\mathbb{R}, *)$ este grup, este:

a) 0 , b:1 c:2 d:3 e:alt raspuns;

780.Numarul perechilor (a,b) pentru care intervalul [0,2] este parte stabila la legea „*” este :

a:0 , b:1 , c:2 , d:4 , e:infinit

La 980 am scris ca $x\geq 0$ si $y\geq 0$ , respectiv $x\leq 2$ si $y\leq 2$ le-am inmultit si am adunat ax+by si am ajuns la relatia : $ax+by\leq xy+ax+by\leq 4+ax+by$ . Si de aici nu mai stiu ce as putea face.

2 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

PhantomR · Answer 1 · 2018-05-02T17:26:00+03:00

978. Asociativitate:

$x*(y*z)=(x*y)*z$
$x(yz+ay+bz)+ax+b(yz+ay+bz)=(xy+ax+by)z+a(xy+ax+by)+bz$
$\not{xyz}+\not{axy}+bzx+ax+\not{byz}+\not{aby}+b^2z=\not{xyz}+azx+\not{byz}+\not{axy}+a^2x+\not{aby}+bz$
$bzx+ax+b^2z=azx+a^2x+bz$
De aici, o varianta de a continua este:
$zx(b-a)+x(a^2-a)+z(b^2-b)=0 \ (*)$
Punand $x=0$ obtinem (luand, de exemplu, $z=1$ ) $b^2=b$
Luand, analog, $z=0$ si un $x\neq 0$ rezulta $a^2=a$ . Inlocuind in relatia initiala, obtinem $zx(b-a)=0,\forall x,z$ . Luand, de exemplu, $z=x=2$ obtinem $a=b$

Observam ca cele trei conditii: $a=b,a^2=a,b^2=b$ sunt suficiente pentru a asigura ca egalitatea (*) are loc pentru orice $z,x$ .

Asadar, exista doua perechi pentru care legea e asociativa: $(0,0),(1,1)$ .
Pentru $a=b=0$ avem chiar inmultirea obisnuita pe $\mathbb{R}$ care nu duce la un grup pentru ca $0$ e neinversabil.
Pentru $a=b=1$ , $x*y=(x+1)(y+1)-1$ .. conditia pentru element neutru e echivalenta cu $(x+1)(e+1)=x+1 \Leftrightarrow (x+1)e=0,\forall x \Leftrightarrow e=0$ . Conditia pentru element simetric se scrie $(x+1)(x'+1)=1$ , de unde observam ca $x=-1$ e neinversabil.

Asadar, nu exista nicio pereche $(a,b)$ pentru care avem grup.

PhantomR · Answer 2 · 2018-05-02T17:45:40+03:00

980. Pentru fiecare $y\in [0;2]$ consideram $f_y:[0;2]\to\mathbb{R}, f_y(x)=xy+ax+by$ . Trebuie sa impunem conditia ca $\rm{Im}f_y\subset [0;2], \forall y\in [0;2]$ .

Din $f_y(0)=by\geq 0,\forall y \Rightarrow b\geq 0$ . Din $f_0(x)\geq 0, \forall x \Rightarrow ax\geq 0,\forall x \Rightarrow a \geq 0$ . Observam acum ca $f_y(x)\geq 0 ,\forall x,y$ si, in plus, ca $f_y$ e acum crescatoare (suma de functii crescatoare), astfel ca mai trebuie doar sa impunem conditia $f_y(2)\leq 2,\forall y\in [0;2]$ .

Aceasta se scrie ca $2y+2a+by\leq 2$ sau $y(2-b)\leq 2(1-a)$ .
Problema se poate finaliza aici observand ca $b=2\geq 0$ si orice $0\leq a\leq 1$ sunt solutii, deci raspunsul este o infinitate.

Totusi, pentru a gasi toate perechile, membrul stang e o functie de grad 1 in $y$ : $g(y)=y(2-b)$ , deci monotona si cum $y\in [0;2]$ , imaginea functiei e cuprinsa intre $g(0)$ si $g(2)$ . Deci pentru ca inegalitatea sa aiba loc pentru orice $y$ e destul sa aiba loc pentru $0$ si $2$ . Inegalitate pentru $y=0$ duce la $a\leq 1$ , iar pentru $y=2$ la $2(2-b)\leq 2(1-a) \Leftrightarrow b-a\geq 1$ sau $b\geq a+1$ . Intersectand cele patru conditii: $a\geq 0, b\geq 0, a\leq 1, b\geq a+1$ obtinem ca orice numere $a,b$ cu
$a\in [0;1]$ si $b\geq a+1$ verifica.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

UTCN 978 SI 980

Similare

2 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul