Home/ Intrebari/Q 92659
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

jklR7
user (0)
Pe: 2018-04-28T21:15:01+03:00 In: In:

391/UTCN2018

Determinați a, astfel încât ecuația a^{x}=x, cu a>1, să aibă o singură soluție reală.
Am urmat pașii făcuți de dl. PhantomR la problema anterioară postată.
Am luat o funcție am facut derivata până la cea de ordin 2 care a dat strict pozitivă, din tabelul de variație mi-a dat a>1, însă nu e corect..

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Salutari 😀,

    Din cate stiu, am povestit de o problema asemanatoare, dar era cu doua solutii. Totusi, solutia de aici cred ca e mai usoara si mai generala fata de aceea. si se poate aplica si la probleme care cer o singura solutie.

    Astfel, din a^x=x \Rightarrow x > 0. Logaritmand, avem \frac{\ln x}{x}= \ln a. Fie f:(0;\infty)\to\mathbb{R},f(x) = \frac{\ln x}{x}. Derivata e f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} cu radacina x=e si semn + pentru x<e si - pentru x>e. Cum f(0^+)=-\infty si f(\infty)= 0, obtinem ca pe (0;e), imaginea functiei e (-\infty, \frac{1}{e}), iar pe (e;\infty) ea e (0, \frac{1}{e}). Astfel, valorile pe care functia era doar o singura data sunt \frac{1}{e} si toate valorile din (-\infty, 0]. Dar noi avem f(x)=\ln a, iar cum se cere a>1 (\Rightarrow \ln a > 0), singura valoare buna este \frac{1}{e} pentru care obtinem a = e^{\frac{1}{e}}.

    • 0
  2. Integrator
    maestru (V)

    PhantomR post_id=111226 time=1525035805 user_id=15235 wrote:
    Salutari 😀,

    Din cate stiu, am povestit de o problema asemanatoare, dar era cu doua solutii. Totusi, solutia de aici cred ca e mai usoara si mai generala fata de aceea. si se poate aplica si la probleme care cer o singura solutie.

    Astfel, din a^x=x \Rightarrow x > 0. Logaritmand, avem \frac{\ln x}{x}= \ln a. Fie f:(0;\infty)\to\mathbb{R},f(x) = \frac{\ln x}{x}. Derivata e f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} cu radacina x=e si semn + pentru x<e si - pentru x>e. Cum f(0^+)=-\infty si f(\infty)= 0, obtinem ca pe (0;e), imaginea functiei e (-\infty, \frac{1}{e}), iar pe (e;\infty) ea e (0, \frac{1}{e}). Astfel, valorile pe care functia era doar o singura data sunt \frac{1}{e} si toate valorile din (-\infty, 0]. Dar noi avem f(x)=\ln a, iar cum se cere a>1 (\Rightarrow \ln a > 0), singura valoare buna este \frac{1}{e} pentru care obtinem a = e^{\frac{1}{e}}.


    Bună dimineața,

    Din a^x=x și a>1 rezultă că a=x^{\frac{1}{x}}>1.Care sunt soluțiile inecuației x^{\frac{1}{x}}>1?Ce extreme are funcția a=x^{\frac{1}{x}}?

    Toate cele bune,

    Integrator

    • 0
  4. jklR7
    user (0)

    PhantomR post_id=111226 time=1525035805 user_id=15235 wrote:
    Salutari 😀,

    Din cate stiu, am povestit de o problema asemanatoare, dar era cu doua solutii. Totusi, solutia de aici cred ca e mai usoara si mai generala fata de aceea. si se poate aplica si la probleme care cer o singura solutie.

    Astfel, din a^x=x \Rightarrow x > 0. Logaritmand, avem \frac{\ln x}{x}= \ln a. Fie f:(0;\infty)\to\mathbb{R},f(x) = \frac{\ln x}{x}. Derivata e f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} cu radacina x=e si semn + pentru x<e si - pentru x>e. Cum f(0^+)=-\infty si f(\infty)= 0, obtinem ca pe (0;e), imaginea functiei e (-\infty, \frac{1}{e}), iar pe (e;\infty) ea e (0, \frac{1}{e}). Astfel, valorile pe care functia era doar o singura data sunt \frac{1}{e} si toate valorile din (-\infty, 0]. Dar noi avem f(x)=\ln a, iar cum se cere a>1 (\Rightarrow \ln a > 0), singura valoare buna este \frac{1}{e} pentru care obtinem a = e^{\frac{1}{e}}.


    Vă mulțumesc!

    • 0
Raspunde

Raspunde