Home/ Intrebari/Q 92656
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

jklR7
user (0)
Pe: 2018-04-28T09:33:36+03:00 In: In:

392,393/UTCN2018

392. Mulțimea valorilor pozitive ale lui a pentru care ecuația a^{x}=x+2 are doua soluții reale.
393. Mulțimea valorilor pozitive ale lui a pentru care inegalitatea a^{x}\geq x^{a} să aiba loc pentru orice x>0
Știu că sunt tipul acela de ecuații transcendente dar am uitat principiul pe baza căruia se rezolva. Mă puteți ajuta cu vreo idee? (cel puțin la unul din exerciții)

Similare

4 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    1. Mai intai, observam ca a>1, altfel membrul stang privit ca o functie este descrescator, iar cel drept este strict crescator, deci ecuatia are cel mult o solutie.

    Apoi, luand f(x)=a^x-x-2=0 avem f'(x)=a^x\ln a -1 si f''(x)=a^x\ln^2a>0, deci f' e strict crescatoare, deci ecuatia f'(x)=0 are cel mult o solutie. Cum f'(-\infty)=-1 si f'(\infty)=\infty, rezulta ca are o solutie unica x_0. Pe (-\infty,x_0], respectiv [x_0,\infty), f e strict monotona, deci ecuatia f(x)=0 poate avea cel mult doua solutii. Cum f(-\infty)=\infty,f(0)=-2,f(\infty)=\infty, rezulta ca exista o solutie intre (-\infty,0) si una intre (0;\infty). Asadar, pentru orice a>1 ecuatia f(x)=0 are exact (cel mult is cel putin) 2 solutii.

    • 0
  2. PhantomR
    expert (VI)

    2. Mai intai, sa observam ca a=0 nu convine. Deci a>0.
    Logaritmand, rescriem inegalitatea ca f(x)=\frac{\ln x}{x} \leq \frac{1}{a}. Avem f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} cu radacina x=e. Din tabelul de variatie, obtinem ca imaginea lui f este (-\infty,\frac{1}{e}\right], deci conditia ca inegalitatea ceruta sa aiba loc pentru orice x>0 este ca \frac{1}{e}\leq \frac{1}{a} sau a\leq e.

    Deci a\in [e;\infty) este raspunsul.

    EDIT: Ati putea, va rog, sa faceti un subiect per problema 😀?

    • 0
  4. jklR7
    user (0)

    PhantomR post_id=111208 time=1524921862 user_id=15235 wrote:
    2. Mai intai, sa observam ca a=0 nu convine. Deci a>0.
    Logaritmand, rescriem inegalitatea ca f(x)=\frac{\ln x}{x} \leq \frac{1}{a}. Avem f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} cu radacina x=e. Din tabelul de variatie, obtinem ca imaginea lui f este (-\infty,\frac{1}{e}\right], deci conditia ca inegalitatea ceruta sa aiba loc pentru orice x>0 este ca \frac{1}{e}\leq \frac{1}{a} sau a\leq e.

    Deci a\in [e;\infty) este raspunsul.

    EDIT: Ati putea, va rog, sa faceti un subiect per problema 😀?


    Vă mulțumesc!
    Pe viitor așa voi face, acum însă, ca să nu deschid un alt subiect mi-am spus să le postez pe amândouă aici.

    • 0
  5. PhantomR
    expert (VI)

    Cu drag 😀. Am gresit concluzia.. era a\in (0;e] ..

    • 0
Raspunde

Raspunde