Home/ Intrebari/Q 92609
Urmator
In Process
manu333
user (0)
Pe: 2018-04-02T15:12:41+03:00 In: In:

integrala

As avea integrala din (x^2+x+1/2)/(x^4+x+1/2)…

Similare

8 raspunsuri

  1. profesor

    Care e sursa?

    • 0
  2. user (0)

    rmt

    • 0
  4. profesor

    Ce autor?

    • 0
  5. user (0)

    Aurel Dobosan, din Lugoj…

    • 0
  6. profesor

    Nu am avut nicio revelație vizavi de integrala cu pricina, dar, muncitorește, am obținut
    \frac{x^2+x+\frac{1}{2}}{x^4+x+\frac{1}{2}}=\frac{a+1}{2a}\cdot \frac{1}{x^2-ax+\frac{a^2-a+1}{2a^2}}+\frac{a-1}{2a}\cdot \frac{1}{x^2+ax+\frac{a^2+a+1}{2a^2}}=\\=\frac{a+1}{2a}\cdot \frac{1}{(x-\frac{a}{2})^2+\left ( \frac{a-1}{2a} \right )^2}+\frac{a-1}{2a}\cdot \frac{1}{(x+\frac{a}{2})^2+\left ( \frac{a+1}{2a} \right )^2},
    unde a^2 este rădăcina pozitivă a ecuației t^2-t-1=0, adică a se bucură de proprietatea
    a^4=a^2+1.

    • 0
  8. user (0)

    Multumesc frumos !

    • 0
  9. profesor

    Trebuie să verifici dacă nu e vreo greșeală; am impresia că la numitorul primei fracții trebuie scris (a^2+a+1)/(2a^2),
    iar la a doua (a^2-a+1)/(2a^2). Dacă este așa, se obține
    \frac{a+1}{2a}\int \frac{1}{(x-\frac{a}{2})^2+\left ( \frac{a+1}{2a} \right )^2}dx+\frac{a-1}{2a}\int \frac{1}{(x+\frac{a}{2})^2+\left ( \frac{a-1}{2a} \right )^2}dx=\\=arctg \frac{2ax-a^2}{a+1}+arctg \frac{2ax+a^2}{a-1}+C=arctg \frac{\frac{2ax-a^2}{a+1}+\frac{2ax+a^2}{a-1}}{1-\frac{2ax-a^2}{a+1}\cdot \frac{2ax+a^2}{a-1}}+C=\\=arctg \frac{1+2x}{1-2x^2}+C.
    Dar asta înseamnă că se putea ajunge aici direct prin schimbarea de variabilă t=\frac{1+2x}{1-2x^2},
    și asta era revelația pe care nu am avut-o!

    • 0
  10. veteran (III)

    Sau I=arctg\frac{x\left ( x+1 \right )}{-x^{2}+x+1}+C rezultat pe care il obtinem cu substitutia de variabila t=\frac{x\left ( x+1 \right )}{-x^{2}+x+1}.
    Avem un exemplu de doua primitive ale functiei de sub semnul integrala (care au derivatele egale),deci ele difera printr-o constanta.

    • 0
Raspunde

Raspunde